問題
円Ｏの弧ABの中点をM、弧AB上のM以外の点Pをとる。
このとき、ＡＰ＋ＢＰ＜ＡＭ＋ＭＢを示しなさい。
解答
MBとＡＰの交点をＣとします。
円周角より、∠ＡＭＣ＝∠ＢＰＣ ∠ＭＡＣ＝∠ＰＢＣ より、
△ＡＭＣと△ＢＰＣは相似。
また、半円周≧弧ＡＭ＝弧ＢＭ＞弧ＢＰより、
ＡＭ＞ＢＰ
よって、△ＡＭＣと△ＢＰＣの相似比を
ＡＭ：ＢＰ＝ｍ：１ （ｍ＞１）
とおける。
ここで、
ＢＰ＋ＰＣ−ＢＣ＝ｋ （ｋ＞０） （三角不等式より）・・・(1)
とおくと、
ＡＭ＋ＭＣ−ＡＣ＝ｍ（ＢＰ＋ＰＣ−ＢＣ）＝ｍｋ ・・・(2)
とおける。
(2) から (1) を引いて、
ＡＭ＋ＭＣ＋ＢＣ−（ＢＰ＋ＰＣ＋ＡＣ）＝（ｍ−１）ｋ
ＡＭ＋ＭＢ−（ＡＰ＋ＢＰ）＝（ｍ−１）ｋ＞０
となり、
ＡＰ＋ＢＰ＜ＡＭ＋ＭＢ
が示された。
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