問題
関数y＝√(x＋1)とy＝x＋ａ(ａは定数)のグラフを書き、
ａの値が変わるとき、両曲線の交点の個数がどの様に変わるかを調べよ。
解答
y＝√(x+1) のグラフは x≧-1 で定義され、上のような放物線
の半分になります。
ｙ＝ｘ＋ａ のグラフは、傾き１で、ａの値につれて上下に動きます。ａはｙ切片になります。
y＝√(x＋1) に ｙ＝ｘ＋ａ を代入して２乗すると、
（ｘ＋ａ)2＝ｘ＋１
ｘ2＋(２ａ−１)ｘ＋ａ2−１＝０
判別式を取って、
(２ａ−１)2−４(ａ2−１)＝０
４ａ2−４ａ＋１−４ａ2＋４＝０
−４ａ＋５＝０
ａ＝5/4
このとき、直線ｙ＝ｘ＋ａ は、y＝√(x+1) のグラフに接します。
ａ＜１ のとき（直線がずっと下のとき）は、交点は１つです。
１≦ａ＜5/4 のとき、交点は２つです。
ａ＝5/4 のとき（接するとき）、交点は１つです。
ａ＞5/4 のとき、交点はありません。
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