Toshiさんからの質問1
2問あります。

問題1
△ABCにおいて、AB=3,BC=2,CA=4とする。
△ABCの内心をPとし、内接円とBCの接点をQ、Qから直線APに垂線を引き、
ACとの交点をRとする。このとき比AR:RCを求めよ。

解答1
Toshiさんからの質問1
図のように、点BからQRに平行な直線を引き、ACとの交点をSとします。また、AC、AB上の接点をT、Uとします。
このとき、△ABSにおいて、∠BASの二等分線APが、BSと直行しているので、
△ABSは、二等辺三角形。よって、AB=AS=3。
SC=4−3=1
一方、AU=AT、BQ=BU、CT=CQ および、各辺の長さより、
 BQ=BU=0.5
よって、QC=2−0.5=1.5
これより、BQ:QC=1:3
BS//QRより、△CBSと△CQRは相似。よって、
 SR:RC=BQ:QC=1:3
よって、SR=SC÷4=0.25
 RC=SC−SR=1−0.25=0.75
以上より、
 AR=3+0.25=3.25
 AR:RC=3.25:0.75=13:3

問題2
Oを原点とする座標平面上に点A(0,90),点B(0,40)がある。
そしてX軸上の正の部分に点Pをおいて角APBが最大になるようにするとき、
OPの長さを求めなさい。

解答2
Toshiさんからの質問1
3点A、B、Pを通る円を描き、中心をNとすると、Nは直線 y=6.5 上にあり、
∠APBは∠ANBの1/2倍(円周角)となります。
よって、中心角∠ANBが最大のとき∠APBも最大になります。
また、この円の半径が小さいほど∠ANBは大きくなりますが、あまり小さいと
x軸と交わらないので、円がx軸と接するとき、∠APBが最大になります。

その情況が上図右ですが、△CBN(CはABの中点で(0, 6.5))において、
三平方の定理よりCN(=OP)を出すと、
 OP=CN=5×√(132 - 52) = 5×12=60

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