Toshiさんからの質問１
２問あります。

問題１
△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝３，ＢＣ＝２，ＣＡ＝４とする。
△ＡＢＣの内心をＰとし、内接円とＢＣの接点をＱ、Ｑから直線ＡＰに垂線を引き、
ＡＣとの交点をＲとする。このとき比ＡＲ：ＲＣを求めよ。

解答１

図のように、点ＢからＱＲに平行な直線を引き、ＡＣとの交点をＳとします。また、ＡＣ、ＡＢ上の接点をＴ、Ｕとします。
このとき、△ＡＢＳにおいて、∠ＢＡＳの二等分線ＡＰが、ＢＳと直行しているので、
△ＡＢＳは、二等辺三角形。よって、ＡＢ＝ＡＳ＝３。
ＳＣ＝４−３＝１
一方、ＡＵ＝ＡＴ、ＢＱ＝ＢＵ、ＣＴ＝ＣＱ および、各辺の長さより、
　ＢＱ＝ＢＵ＝０．５
よって、ＱＣ＝２−０．５＝１．５
これより、ＢＱ：ＱＣ＝１：３
ＢＳ//ＱＲより、△ＣＢＳと△ＣＱＲは相似。よって、
　ＳＲ：ＲＣ＝ＢＱ：ＱＣ＝１：３
よって、ＳＲ＝ＳＣ÷４＝0.25
　ＲＣ＝ＳＣ−ＳＲ＝１−0.25＝0.75
以上より、
　ＡＲ＝３＋0.25＝3.25
　ＡＲ：ＲＣ＝3.25：0.75＝13：3

問題２
Ｏを原点とする座標平面上に点Ａ(0,90)，点Ｂ(0,40)がある。
そしてX軸上の正の部分に点Ｐをおいて角ＡＰＢが最大になるようにするとき、
ＯＰの長さを求めなさい。

解答２

３点Ａ、Ｂ、Ｐを通る円を描き、中心をＮとすると、Ｎは直線 ｙ＝６．５ 上にあり、
∠ＡＰＢは∠ＡＮＢの１／２倍（円周角）となります。
よって、中心角∠ＡＮＢが最大のとき∠ＡＰＢも最大になります。
また、この円の半径が小さいほど∠ＡＮＢは大きくなりますが、あまり小さいと
ｘ軸と交わらないので、円がｘ軸と接するとき、∠ＡＰＢが最大になります。

その情況が上図右ですが、△ＣＢＮ（ＣはＡＢの中点で(0, 6.5)）において、
三平方の定理よりＣＮ（＝ＯＰ）を出すと、
　ＯＰ＝ＣＮ＝５×√(13² - 5²) = ５×１２＝６０

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