問題
図のように、放物線ｙ＝ｘ2 と、ｙ軸上の点Ｃ1 を中心、半径ａ の円Ｃ1 と、ｙ軸上の点Ｃ2 を中心、半径ｂ の円Ｃ2 があります。
点Ａ、Ｂは円Ｃ１、Ｃ２と放物線y=x^2との交点（ただしｘ座標が正)であり、Ｃ1Ａ、Ｃ2Ｂはｘ軸に平行である。
また、点Ｐ、Ｑはそれぞれ円Ｃ１、Ｃ２とｙ軸との交点のうち、Ｃ1 とＣ2 の間にある点である。
PQ=6として次の問いに答えなさい。ただし、a、bは自然数とし、ａ＜ｂとする。
（１）a、bの値を求めなさい。
（２）円C1、C2の共通内接線Ｌの方程式を求めなさい。
解答
(1)
２つの半径、ａ，ｂに対して、Ｃ1，Ｃ2 のｙ座標は、ａ2、ｂ2 であるので、
Ｐのｙ座標は、ａ2＋ａ
Ｑのｙ座標は、ｂ2−ｂ
これの距離が６なので、
(ｂ2−ｂ)−(ａ2＋ａ)＝６
展開して、
ｂ2−ａ2−ａ−ｂ＝６
(ｂ−ａ−1)(ｂ＋ａ)＝６
ａ，ｂ は自然数なので、ｂ−ａ−１、ｂ＋ａ ともに自然数であり、
ｂ−ａ−１＜ｂ＋ａ も明らかなので、
ｂ−ａ−１＝１ かつ ａ＋ｂ＝６ ・・・(i)
ｂ−ａ−１＝２ かつ ａ＋ｂ＝３ ・・・(ii)
のいずれかです。このうち、自然数の解になるのは、(i) から得られる
ａ＝２，ｂ＝４ です。
(2)
＜図形による方法＞
点Ｃ1、Ｃ2 から、Ｌにおろした垂線の足を、Ｄ，Ｅ とし、Ｌとｙ軸の交点をＦとします。
Ｃ1Ｄ＝２、Ｃ2Ｅ＝４、Ｃ1Ｃ2＝１２
であり、△Ｃ1ＤＦと△Ｃ2ＥＦ が相似であることより、
Ｃ1Ｆ：Ｃ2Ｆ＝１：２
となり、Ｃ1Ｆ＝４，Ｃ2Ｆ＝８ より、Ｆのｙ座標は、４＋４＝８
また、△Ｃ1ＤＦ、△Ｃ2ＥＦ は、1：2：√3 の三角形であり、Ｌの傾きは√3 であることがわかります。
よって、Ｌの式は、
ｙ＝(√3)ｘ＋８
また、対称性から、
ｙ＝−(√3)ｘ＋８
も、解となります。
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