問題
円Ｏに内接する四角形ＡＢＣＤがあり、ＡＢ＝4、ＡＤ＝5、cos∠BAD＝−1／5である。また対角線ACとBDは垂直に交わるとする。
このとき、BCと、四角形ABCDの面積を求めよ。
解答
ＡＣとＢＤの交点をＨとします。
△ＡＢＤにおける余弦定理より、
ＢＤ2＝ＡＢ2＋ＡＤ2−２ＡＢ・ＡＤcos∠ＢＡＤ＝４９
より、
ＢＤ＝７
また、sin∠ＢＡＤ＝2√6/５ より、
△ＡＢＤの面積は
△ＡＢＤ＝(ＡＢ・ＡＤsin∠ＢＡＤ)／２＝4√6
ＢＤを底辺にすると、ＡＨが高さなので、
ＡＨ＝4√6÷７×２＝8√6/7
△ＡＢＨにおける三平方の定理より、
ＢＨ2＝ＡＢ2−ＡＨ2＝１６−384/49＝400/49
よって、
ＢＨ＝20/7
同時に、
ＤＨ＝7-20/7＝29/7
△ＡＤＨと△ＢＣＨの相似より、
ＢＣ：ＡＤ＝ＢＨ：ＡＨ
ＢＣ＝ＡＤ・ＢＨ/ＡＨ
＝25/2√6
同様に、
ＨＣ＝ＤＨ・ＢＨ/ＡＨ
＝145/14√6
ＡＣ＝ＡＨ＋ＨＣ＝241√6/84
よって、四角形ＡＢＣＤの面積Ｓは、
Ｓ＝ＢＤ・ＡＣ／２
＝241√6/24
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