問題（出典はこちら）
縦、横、高さがそれぞれ９cm、９cm、６cmである直方体Ｖがあります。
この直方体の対角線の１本をｍとして、直線ｍを軸としてＶを１８０度回転させてできる直方体をＷとします。
さて、ＶとＷの共通部分の立体の体積は何cm3でしょうか。
解答
図のように、対角線の中点を通り、対角線に垂直な平面で、切断することを考えます。
図において、ＡＢＣＤ（ＤはＢと重なっている）が、9×9の正方形で、ＡＥ，ＢＦ，ＣＧなどが、6cmの辺です。
対角線ＡＧの中点をＭ。Ｃ、Ｂから、ＡＧに下ろした垂線の足を、Ｎ、Ｐとします。
△ＡＣＧ，△ＡＮＣ，△ＣＮＧ は相似な直角三角形なので、
ＡＣ／ＣＧ＝ＡＮ／ＮＣ＝ＮＣ／ＮＧ
より、
(ＡＮ／ＮＣ)(ＮＣ／ＮＧ)＝(ＡＣ／ＣＧ)(ＡＣ／ＣＧ)
ＡＮ／ＮＧ＝ＡＣ2／ＣＧ2
の関係があります。
ＡＣ2＝２×□ＡＢＣＤ＝9×9×2＝162
ＣＧ2＝6×6＝36
より、
ＡＮ：ＮＧ＝162：36＝９：２＝１８：４
ＰはＡＮの中点なので、
ＡＰ：ＰＮ：ＮＧ＝９：９：４
ＭはＡＧの中点なので、
ＡＰ：ＰＭ：ＭＮ：ＮＧ＝９：２：７：４
以上より、ＢＱ：ＱＣ＝ＰＭ：ＭＮ＝２：７ となり、ＢＱ＝2cm、ＱＣ＝7cm となります。
また、Ｍは、ＢＦの中点でもあり、ＢＭ＝ＭＦ＝3cm です。
よって、求める立体は、図のように、
9×9×6＝486(cm<SUP>3</SUP>)
の直方体から、直角をはさむ3辺が、
7×7×6 の三角すい（Ｃ，Ｅを含むもの：体積49）を２つ
3×2×9の三角すい（Ｂ，Ｄ，Ｆ，Ｈを含むもの：体積９）を４つ
を取り去ったもので、体積は、
486－49×2－9×4＝352(cm3)
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