朋美さんからの質問１
問題
ａ(1),....,ａ(k)は線形独立なベクトルで，
ａ＝ｃ(1)ａ(1)＋・・・＋c(k)ａ(k)であるとする。（ｃ(k)は係数です。）
このとき、ｃ(1)＋c(2)＋・・・＋c(k)＝１ならば、
ａ(1)−ａ，ａ(2)−ａ，・・・ａ(k)−ａは線形従属であることを示せ。

解答
Ａ(n)＝ａ(n)−ａ　(n＝1,2,3,…k) とおくと、
　Ａ(1)＝(１−c(1))ａ(1)−c(2)ａ(2)−c(3)ａ(3)−･･･−c(k)ａ(k)　・・・(1)
　Ａ(2)＝−c(1)ａ(1)＋(１−c(2))ａ(2)−c(3)ａ(3)−･･･−c(k)ａ(k)　・・・(2)
　Ａ(3)＝−c(1)ａ(1)−c(2)ａ(2)＋(１−c(3))ａ(3)−･･･−c(k)ａ(k)　・・・(3)
　　　･････････
　Ａ(k)＝−c(1)ａ(1)−c(2)ａ(2)−c(3)ａ(3)−･･･＋(１−c(k))ａ(k)　・・・(k)
とおけます。
(1)を(2)〜(k) からそれぞれ引くと、
　Ａ(2)−Ａ(1)＝ａ(2)−ａ(1)　・・・(2)'
　Ａ(3)−Ａ(1)＝ａ(3)−ａ(1)　・・・(3)'
　　･････････
　Ａ(k)−Ａ(1)＝ａ(k)−ａ(1)　・・・(k)'
(1)＋(2)'×c(2)＋(3)'×c(3)＋･･･＋(k)'×c(k) を計算すると、
　(1−c(2)−c(3)−･･･−c(k))Ａ(1)＋c(2)Ａ(2)＋c(3)Ａ(3)＋･･･＋c(k)Ａ(k)
　　＝(１−c(1)−c(2)−c(3)−･･･−c(k))ａ(1)＋０＋０＋･･･＋０
c(1)＋c(2)＋c(3)＋･･･＋c(k)＝１　より、
　c(1)Ａ(1)＋c(2)Ａ(2)＋c(3)Ａ(3)＋･･･＋c(k)Ａ(k)＝０
となり、c(1)〜c(k) すべてが０ということはないので、Ａ(1), Ａ(2), Ａ(3), ･･･ Ａ(k) は一次従属です。

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