問題
縦6ｃｍ、横8ｃｍの長方形の対角線と長方形の縦、横に接する２つの円を描いた。
円の中心を各O,O’とする。また、対角線に接する点をＰ，Ｑとする。
(1) 線分Ｐ，Ｑの長さは何ｃｍか
(2) 線分Ｏ，Ｏ‘の長さは何ｃｍか
解答
（以下、長さの単位は cm、面積の単位はcm2です）
(1)
図のようにＡ〜Ｈの記号を付けます。
条件より、ＡＢ＝ＣＤ＝６、ＡＤ＝ＢＣ＝８
また、三平方の定理より、ＢＤ＝１０ です。
まず、内接円の半径 ｒ を求めます。
△ＡＢＤの面積は
△ＡＢＤ＝６×８÷２＝２４
一方、△ＡＢＤを△ＡＯＤ，△ＡＯＢ，△ＢＯＤに分けると、面積はそれぞれ、
△ＡＯＤ＝ＡＤ×ＯＥ÷２＝４ｒ
△ＡＯＢ＝ＡＢ×ＯＦ÷２＝３ｒ
△ＢＯＤ＝ＢＤ×ＯＰ÷２＝５ｒ
合計して、△ＡＢＤ＝△ＡＯＤ＋△ＡＯＢ＋△ＢＯＤ＝１２ｒ
以上を比較して、
ｒ＝２
よって、
ＡＥ＝ＡＦ＝ＣＨ＝ＣＧ＝２
となり、
ＤＱ＝ＤＨ＝ＣＤ−ＣＨ＝６−２＝４
ＢＰ＝ＢＦ＝ＡＢ−ＡＦ＝６−２＝４
よって、
ＰＱ＝ＢＤ−ＢＰ−ＤＱ＝１０−４−４＝２
答え：ＰＱは２cm
(2)
Ｏ，Ｏ’ は、縦２cm、横４cmの長方形の対角線になるので、三平方の定理より
ＯＯ’＝√(２2＋４2)＝２√５
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