| 今回の目標 方程式を使って応用問題を解く。（その２） |
方程式を使った応用問題２
| 方程式を使って応用問題を解くときの手順 1. 求める量は何で、何をχ（またはｙ）とおくかを決める。 2. 問題に示された条件を、式で表す。（方程式を立てる、という） 3. 方程式を解く。 4. 問題の意味に沿った答え方で答える。（単位など） |
＜問題１＞次の問題を方程式を用いて解け。
(1) ある人が上り下りの平均速度が4㎞／時になるように登山計画をたてた。
ところが上りが予想外にきつくて、上りの平均速度は3㎞／時であることがわかった。
計画の平均速度4㎞／時を達成するには、平均速度何㎞／時で下ればよいだろうか。
この問題を解くために、次のように考えた。問いに答えよ。
1. 求める下りの速度をχ㎞／時、片道のみちのりをａ㎞とする。上り下りの総所要時間を求めよ。
上り：ａ/3 時間 下り：ａ/χ 時間
総所要時間は、ａ/3＋ａ/χ 時間
2. 上り下りの平均速度×総所要時間＝全みちのり
から、方程式をたてよ。
4 × (ａ/3＋ａ/χ)＝2ａ
3. 等式の性質を用いて、2. で得られた方程式からａを消去せよ。
ａ＞０より、両辺ａで割って、
4(1/3＋1/χ)＝2
4/3＋4/χ＝2
4. 3. の結果は１次方程式ではないが、両辺に3χを掛けることにより、１次方程式に変形できる。
この１次方程式を解いて、下りの平均速度を求めよ。
両辺に3χを掛けて
4χ＋12＝6χ
2χ＝12
χ＝6
答え 下りの速度は 6㎞／時
(2) １４００円を兄弟２人で分けるのに、兄の分は弟の２倍よりも５０円多くしたい。弟はいくらもらえたか。
1. 何をχ，ｙとおきますか（兄の分をχ円、弟の分をｙ円 とおく）
2. 問題で示された条件を、χ，ｙを使った式で表す。
χ＋ｙ＝1400・・・・・・(1)
χ＝2y＋50・・・・・・(2)
3. 方程式を解く
(2) を (1) に代入して、
(2y＋50)＋ｙ＝1400
2ｙ＋ｙ＝1400－50
3y＝1350
ｙ＝450
4. 答え ４５０円
(3) 乗用車はガソリン１リットルで12㎞走り、トラックは１リットルで８㎞走る。
そして、ガソリン１リットルの値段は１５０円であった。
ある日、両車合わせてガソリン代が２８５０円かかり、両車の走った距離はトラックの方が乗用車より32㎞長かった。
乗用車、トラックのそれぞれ走った距離を求めよ。
1. 何をχ，ｙとおきますか（乗用車の走った距離をχkm、トラックの走った距離をｙkm とおく）
2. 問題で示された条件を、χ，ｙを使った式で表す。
乗用車のガソリン消費量は χ/12 リットル
トラックのガソリン消費量は ｙ/8 リットル
χ/12＋ｙ/8＝2850/150・・・・・・(1)
ｙ＝χ＋32・・・・・・(2)
3. 方程式を解く
(1) を整理して、
χ/12＋ｙ/8＝19
両辺24を掛けて
2χ＋3ｙ＝456・・・・・・(1)'
(2) を (1)' に代入して
2χ＋3(χ＋32)＝456
5χ＋96＝456
5χ＝456-96＝360
χ＝72
(2) より、
ｙ＝72＋32＝104
4. 答え 乗用車：72km、トラック：104km
(4) ２００万円を２つに分け、一方を年３％、残りを年５％の利率で預金して、１年後に９万円の利息を得た。年３％の利率で預金した額はいくらか。
1. 何をχ，ｙとおきますか（年利３％でχ万円、年利５％でｙ万円預けた とおく）
2. 問題で示された条件を、χ，ｙを使った式で表す。
χ＋ｙ＝200・・・・・・(1)
0.03χ＋0.05ｙ＝9・・・・・・(2)
3. 方程式を解く
(1) より
ｙ＝200－χ・・・・・・(1)'
(1)' を (2) に代入して、
0.03χ＋0.05(200－χ)＝9
0.03χ＋10－0.05χ＝9
-0.02χ＝-1
χ＝50
4. 答え 50万円
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