13χ＝13
χ＝( 1 )
(2)'より、
4×( 1 )＋6ｙ＝16
6ｙ＝16−( 4 )＝( 12 )
ｙ＝( 2 )
よって、χ＝( 1 )、ｙ＝( 2 )
| これを(1)'＋(2)'と書き、次のよ うに、積み算で計算します。  |
| 今回の目標 ・進んだ代入法のしかたを覚える。 ・消去法（加減法）による連立方程式の解き方を理解する。 |
進んだ代入法
（例題） 次の連立方程式を代入法で解け。
| { | ３χ−２ｙ＝−１・・・・・・(1) |
| ２ｘ＋３ｙ＝８・・・・・・(2) |
| （解答） (2) を変形して、 ２χ＝−３ｙ＋８ |
|||
| −３ｙ＋８ | |||
| χ＝( | -------- | ) ・・・・・・(2)' | |
| ２ | |||
| (1) に代入して | |||
| −３ｙ＋８ | |||
| ３×( | -------- | )−２ｙ＝−１ | |
| ２ | |||
| これを解いて、 両辺２を掛けて ３（−３ｙ＋８）−４ｙ＝−２ −９ｙ＋２４−４ｙ＝−２ −１３ｙ＝−２−２４＝−２６ ｙ＝( ２ ) (2)' に代入して、 χ＝（ １ ） よって、 答え χ＝（ １ ）、ｙ＝（ ２ ） |
|||
このようにしても解けるが、分数の計算があり面倒である。
そこで、次のような方法を考える。
（別解）
(1)(2) の両辺を、それぞれ何倍かして、χまたはｙの係数の絶対値が等しくなるようなことを考えよう。
(1) を（ ３ ）倍、(2) を（ ２ ）倍すると、ｙの係数の絶対値がともに（ ６ ）となる。つまり、
| { | ９χ−６ｙ＝−３・・・・・・(1)' |
| ４χ＋６ｙ＝１６・・・・・・(2)' |
となる。(2)'の 4χを移項して、
６ｙ＝−４χ＋１６ ･･････(2)"
(1)' の6ｙの代わりに( −４χ＋１６ )を入れて、
９χ−(−４χ＋１６)＝−３
カッコをはずして、
(９χ＋４χ−１６)＝−３
これを解いて、
９χ＋４χ＝−３＋１６
１３χ＝１３
χ＝( １ )
(2)'' より、
６ｙ＝−４×( １ )＋１６＝( １２ )
ｙ＝( ２ )
よって、 χ＝( １ )、ｙ＝( ２ )
このように、χやｙに係数をつけたまま代入する方法を利用すると、
途中で分数の計算をせずに解くことが出来ます。
消去法（加減法）
前の例題のもう１つの解き方を紹介します。
（別解２）
ｙの係数の絶対値をそろえるところまでは同じです。つまり、
| { | ９χ−６ｙ＝−３・・・・・・(1)' |
| ４χ＋６ｙ＝１６・・・・・・(2)' |
等式の性質より、両辺に同じ量を足しても等式は成り立ちます。
(2)'より、4χ＋6ｙ と 16 とは等しいので、(1)'の左辺には4χ＋6ｙ
を足し、
右辺には 16 を足します（何のために足すかを考えてください）。つまり、
9χ−6ｙ＋(4χ＋6ｙ)＝-3＋16
9χ−6ｙ＋4χ＋6ｙ＝( 13 )
| 計算して、 13χ＝13 χ＝( 1 ) (2)'より、 4×( 1 )＋6ｙ＝16 6ｙ＝16−( 4 )＝( 12 ) ｙ＝( 2 ) よって、χ＝( 1 )、ｙ＝( 2 ) |
|
この解き方では、ｙの係数の絶対値をそろえてから、ｙの項を消すために、式ごと足しています。
このような解き方を消去法または加減法といいます。
この例題では、ｙの係数が 6 と -6 のように異符号なので、(1)'
と (2)' とを足しましたが、
同符号の場合は、一方の式から、もう一方の式を引きます。
＜問題１＞次の連立１次方程式を解け。
| （１） | { | ４χ＋５ｙ＝２・・・・・・(1) | （２） | { | 0.3χ−0.8ｙ＝0.5ｙ−0.4・・・・・・(1) | |
| ７χ−８ｙ＝−３０・・・・・・(2) | 0.4χ＋0.2ｙ＝0.7χ−0.7・・・・・・(2) | |||||
| (1)×８＋(2)×５ ３２χ＋４０ｙ＝１６・・・・・・(1)' ３５χ−４０ｙ＝−１５０・・・・・・(2)' --------------------- ６７χ ＝−１３４ χ＝−２ (1)より、 ４×（−２）＋５ｙ＝２ −８＋５ｙ＝２ ５ｙ＝２＋８＝１０ ｙ＝２ 答え ｘ＝−２，ｙ＝２ |
移項して 0.3χ−1.3ｙ＝−0.4・・・・・・(1)' -0.3χ＋0.2ｙ＝−0.7・・・・・・(2)' 辺々足して -1.1ｙ＝-1.1 ｙ＝１ (1)' より 0.3χ-1.3＝−0.4 0.3χ＝−0.4＋1.3＝0.9 χ＝３ 答え ｘ＝３，ｙ＝１ |
| （３） | { | 2χ/3＋ｙ/4＝3/2・・・・・・(1) | （４） | { | 2χ＋3ｙ＝7・・・・・・(1) | |
| χ/5＋ｙ/20＝1/2・・・・・・(2) | 4χ−5ｙ＝2・・・・・・(2) | |||||
| (1)×12 8χ＋3ｙ＝18・・・・・・(1)' (2)×40 8χ＋2ｙ＝20・・・・・・(2)' (1)'−(2)' ｙ＝−２ (1)' より 8χ＋3・(-2)＝18 8χ＝18＋6＝24 χ＝３ 答え χ＝３，ｙ＝−２ |
(1)×２−(2) 4χ＋6ｙ＝14 4χ−5ｙ＝2 ------------- 11ｙ＝12 ｙ＝12/11 (1) より 2χ＋36/11＝7 2χ＝7−36/11＝41/11 χ＝41/22 答え χ＝41/22，ｙ＝12/11 |