| 今回の目標 代入法による連立１次方程式の解法を理解する。 |
連立１次方程式
次の２つの方程式を見てください。
| { | ２χ＋ｙ＝３・・・(1) |
| χ−３ｙ＝−２・・・(2) |
(1) が成り立つような (χ,ｙ) の組み合わせは、(0,3),(1,1),(2,-1)
など、いくらでもあります。
また、(2) が成り立つような組み合わせも、(-2,0),(1,1),(4,2)
など、やはりいくらでもあります。
ところが、(1) も (2) も成り立たせるような
(χ,ｙ) の組み合わせは、(1,1) だけです。
このように、文字が２種類の方程式を２つ組み合わせて、それらが同時に成り立つような
答えを見つけるものを、連立方程式といいます。
上の方程式は、文字が２つで次数は１ですから、２元連立１次方程式といいます。
文字が３つ、式が３つの３元連立１次方程式や、４元以上のものもありますが、
ここでは２元連立１次方程式について説明します。
代入法
（例題） 次の連立１次方程式を解け。
| { | 2χ＋３ｙ＝１・・・・・・(1) |
| χ−2y＝４・・・・・・(2) |
（解答） (2)の-2y を右辺に移項して、
| { | 2χ＋３ｙ＝１・・・・・・(1) |
| χ＝−2ｙ＋４・・・・・・(2)' |
となります。(2)' より、χと２ｙ＋４ は（等しい）ことがわかります。
そこで、(1) の χの代わりに、（２ｙ＋４）を入れても、等式は成り立つことになります。つまり、
２（２ｙ＋４）＋３ｙ＝１
となります。これを解いて、
４ｙ＋８＋３ｙ＝１
移項して
４ｙ＋３ｙ＝１−８
７ｙ＝−７
ｙ＝(−１)
これを(2)' に当てはめると
χ= 2 ×(−１) + 4 = ( ２ )
よって、 答え χ＝( ２ )、ｙ＝( −１ )
このように、２つの式の一方を、χ＝（ｙを含んだ式）または、ｙ＝（χを含んだ式）の形に直し、
もう一方の式のχまたはｙに当てはめる（代入する）ことにより、ｙまたはχだけの１次方程式に
して解く方法を（代入法）といいます。
| 代入法による連立方程式の解き方 1. ２つの式のいずれかを、χ＝（ｙを含んだ式）または、ｙ＝（χを含んだ式）の形に直す。 2. もう一方の式のχまたはｙに代入し、ｙまたはχだけの方程式にする。 3. 方程式を解き、ｙまたはχを求める。 4. 1. の形の式から、もう一方の未知数（χまたはｙ）を求める。 |
＜問題１＞次の連立１次方程式を解け。
| （１） | { | ２χ＋５ｙ＝−１・・・・・・(1) | （２） | { | ｘ＋ｙ＝３・・・・・・(1) | |
| ｙ＝χ−２・・・・・・(2) | ｘ−ｙ＝−１・・・・・・(2) | |||||
| (2) を (1) に代入して ２χ＋５(χ−２)＝−１ ２χ＋5χ−１０＝−１ 移項して ２χ＋５χ＝−１＋１０ ７χ＝９ ｘ＝9/7 (2) より、 ｙ＝9/7−２＝-5/7 |
(2)の−ｙを移項して χ＝ｙ−１・・・・・・(2)' (2)' を(1)に代入して （ｙ−１）＋ｙ＝３ ｙ−１＋ｙ＝３ 移項して ｙ＋ｙ＝３＋１ ２ｙ＝４ ｙ＝２ (2)' より、 χ＝２−１＝１ |
| （３） | { | ３χ−ｙ＝６・・・・・・(1) | （４） | { | ６χ−ｙ＝１・・・・・・(1) | |
| ６χ＋３ｙ＝−８・・・・・・(2) | ３χ−２y＝−７・・・・・・(2) | |||||
| (1) より、 ｙ＝３χ−６・・・・・・(1)' (1)' を(2) に代入して ６χ＋３(３χ−６)＝−８ ６χ＋９χ−１８＝−８ ６χ＋９χ＝−８＋１８ １５χ＝１０ χ＝10/15＝２/３ (1)' より ｙ＝３(2/3)−６＝−４ |
(1) より、 ｙ＝６χ−１・・・・・・(1)' (1)' を(2) に代入して ３χ−２(６χ−１)＝−７ ３χ−１２χ＋２＝−７ ３χ−１２χ＝−７−２ −９χ＝−９ χ＝１ (1)' より ｙ＝６・１−１＝５ |
| （５） | { | ２χ−３ｙ＝−１３・・・・・・(1) | （６） | { | ２χ＋ｙ＝４・・・・・・(1) | |
| −χ＋２y＝８・・・・・・(2) | ４χ＝９−２ｙ・・・・・・(2) | |||||
| (2) より、 χ＝２ｙ−８・・・・・・(2)' (2)' を(1) に代入して ２(２ｙ−８)−３ｙ＝−１３ ４ｙ−１６−３ｙ＝−１３ 移項して ４ｙ−３ｙ＝−１３＋１６ ｙ＝３ (2)' より ｘ＝２・３−８＝−２ |
(1) より ｙ＝４−２χ・・・・・・(1)' (1)' を(2) に代入 ４χ＝９−２(４−２χ) ４χ＝９−８＋４χ 移項して ４χ−４χ＝９−８ ０＝１ ※これは、答えが存在しない例です |