(1) Ａ＜90° かつ Ｃ＜90° の場合
(2) Ａ＞90° の場合
(3) Ｃ＞90° の場合
(4) Ａ＝90° の場合
(5) Ｃ＝90° の場合
通常は、(1) だけを証明して、「同様にして、(2)〜(5)の場
合も証明できる。」としても良いと思いますし、(4) は (2)
に、(5) は (3)に含めてしまっても良いと思いますが、ここ
では、すべての場合について、証明します。
ＴＡＮＥさんからの質問１
問題１： ΔＡＢＣにおいて、等式ｃcosＡ＋ａcosＣ＝ｂ が成り立つことを示せ。
問題２： ５個の文字ａ，ａ，ｂ，ｂ，ｃ から３個の文字を選んで、１列に並べる方法は何通りあるか？
答１）
| 形状によって、以下の５通りがあります。 (1) Ａ＜90° かつ Ｃ＜90° の場合 (2) Ａ＞90° の場合 (3) Ｃ＞90° の場合 (4) Ａ＝90° の場合 (5) Ｃ＝90° の場合 通常は、(1) だけを証明して、「同様にして、(2)〜(5)の場 合も証明できる。」としても良いと思いますし、(4) は (2) に、(5) は (3)に含めてしまっても良いと思いますが、ここ では、すべての場合について、証明します。 |
|
(1) の場合
点Ｂから辺ＡＣに下ろした垂線の足をＭとします。
ＡＭ＝ｃcosＡ，ＭＣ＝ａcosＣ
より、
ｂ＝ＡＭ＋ＭＣ＝ｃcosＡ＋ａcosＣ
(2) の場合
点Ｂから直線ＡＣに下ろした垂線の足をＭとします。
ＭＡ＝ｃcos(180°−Ａ)＝−ｃcosＡ，ＭＣ＝ａcosＣ
より、
ｂ＝ＭＣ−ＭＡ＝ａcosＣ＋ｃcosＡ
(3) の場合
点Ｂから直線ＡＣに下ろした垂線の足をＭとします。
ＡＭ＝ｃcosＡ，ＣＭ＝ａcos(180°−Ｃ)＝−ａcosＣ
より、
ｂ＝ＡＭ−ＣＭ＝ｃcosＡ＋ａcosＣ
(4) の場合
cosＡ＝０
なので、
ｂ＝ｃcosＡ＋ａcosＣ
は明らか。
(5) の場合
cosＣ＝０
なので、
ｂ＝ｃcosＡ＋ａcosＣ
は明らか。
以上、証明終わり。
答２）
・文字が３種類の場合（ａ，ｂ，ｃを１個ずつ選ぶ）
ａｂｃ，ａｃｂ，ｂａｃ，ｂｃａ，ｃａｂ，ｃｂａ
の６通り。
・文字が２種類の場合
文字の選び方は
（ａ，ａ，ｂ）（ａ，ａ，ｃ）（ｂ，ｂ，ａ）（ｂ，ｂ，ｃ）
の４通り。
例えば、（ａ，ａ，ｂ）の３個を選んだとき、並べ方は
ａａｂ，ａｂａ，ｂａａ
の３通り。
合計４×３＝１２（通り）
・両方合わせて ６＋１２＝１８ 答 １８通り