問題
半径ｒの扇形ＯＡＢがある。
角ＢＯＡ＝90度で、AをＯに重なるように折りかえした時の折り目をＣＤとする。
1 ＣＤの長さを求めよ。
2 ＢＯＣの周の長さを求めよ。
3 ＢＯＣの面積を求めよ。
解答
ＣＤの位置によって、下の２つが考えられます。
1 上図右において、△ＤＯＣは、１：２：√３ の直角三角形である。
よって、ＣＤ＝(√３)ｒ/２
解答１ 点ＣがＡＯ上にあるとき
2 ＢＯ＝ｒ、ＣＯ＝ｒ/2
△ＯＢＣにおける三平方の定理より、
ＢＣ＝(√５)ｒ/２
よって、△ＢＯＣの周の長さは (３＋√５)ｒ/２
3 △ＢＯＣの面積は
ＢＯ×ＣＯ÷２＝ｒ2/４
解答２ 点Ｃが弧ＡＢ上にあるとき、
2 ∠ＢＯＣ＝∠ＯＣＤ＝３０°であるので、
ＢＯ＝ＣＯ＝ｒ、弧ＢＣ＝２πｒ/12＝πｒ/６
よって、扇形ＢＯＣの周の長さは (２＋π/６)ｒ
3 扇形ＢＯＣの面積は
πｒ2/12
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