問題
曲線：y=cosx (|x|≦π/2) とx軸に内接する台形ABCDを考える。
いま、台形ABCDを図のようにとり、点Aを、A(a,cosａ)(0<a<π/2)と表す。
(1)台形ABCDの面積S(a)は最大値をとることを示せ。
(2)S(a)の最大値を与えるaの値をa[0]とするとき、π/12<a[0]<π/6
が成り立つことを示せ。
解答
(1)
ＡＢ＝２ａ
ＣＤ＝π
より、台形ＡＢＣＤの面積S(a)は、
S(a)＝{(２ａ＋π)cosａ}／２
と書けます。ａで微分して、
Ｓ’(a)＝{２cosａ−(２ａ＋π)ｓｉｎａ}／２
さらに微分して、
Ｓ”(a)＝{−２sinａ−２sinａ−(２ａ＋π)cosａ}／２
＝{−４sinａ−(２ａ＋π)cosａ}／２
０＜ａ＜π/２ の範囲では、
ｓｉｎａ＞０
cosａ＞０
２ａ＋π＞０
であるので、この範囲では常に
Ｓ”(a)＜０
となり、Ｓ’(a) は、この範囲で、単調減少します。
ａ＝０、ａ＝π／２ においてＳ（ａ）および、Ｓ’(a) を定義しても、連続性は失われない。
Ｓ’（０）＝１
Ｓ’(π／２)＝−π
となり、Ｓ’(a) は、０＜ａ＜π/２ において連続であるので、
Ｓ’(ａ)＝０
となるａが、この範囲内に１つ存在する。
それを a[0] とすると、単調性より
０＜ａ＜a[0] では、Ｓ’（ａ）＞０
a[0]＜ａ＜π／２では、Ｓ’(a)＜０
となり、Ｓ(a) は、ａ＝a[0] で、極大かつこの範囲での最大となります。
(2)
同様に、
Ｓ’(π／１２)＝{２cos(π/12)−(７π／６)sin(π/12)}／２
＝(√６＋√２)/４−(７π／６)(√６−√２)／８
≒(2.45＋1.41)／４−７×3.14×(2.45−1.41)／４８
＝3.86／４−７×3.14×1.04／４８
≒0.965−0.476
＝0.489＞０
Ｓ’(π／６)＝{２cos(π/６)−(４π／３)sin(π/６)}／２
＝√３／２−(π／３)
≒1.73／２−3.14／３
≒0.865-1.047
＝−0.182＜０
以上より、Ｓ(a) を最大にするa[0] は、π/12<a[0]<π/6 の範囲内にあります。
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