問題
平面上の領域A,Bをそれぞれ
A={(x,y)｜|x|＜1 かつ y＞0} , B={(x,y)｜|x|≧1かつy＞1}
とし、D=A∪Bとする。
i,領域Dを図示せよ。
ii,放物線y=-x2+2ax+bがDと交わらないためのa,bの条件を求めよ。また、そのような点（a,b)の存在する範囲を図示せよ。
解答
i. 下図の通り、ただし境界上の点は含まない。
ii.
y=-x2+2ax+b は上に凸のグラフですが、これが領域Ｄと交わらないためには、上図のように
(1) 判別式≦０
判別式＞０のとき、-x2+2ax+b=0 の２解を、α、β（α＜β）とするとき、
(2) β≦−１ かつ 頂点のｙ座標≦１
(3) α≧１ かつ 頂点のｙ座標≦１
の、いずれかであればよい。
判別式/４＝a2+b
α＝a - √(a2+b)
β＝a + √(a2+b)
頂点の座標(a, a2+b)
より、
(1) a2+b≦０
(2) a2+b＞０ かつ a + √(a2+b)≦−１ かつ a2+b≦１
(3) a2+b＞０ かつ a - √(a2+b)≧１ かつ a2+b≦１
●a + √(a2+b)≦−１
より、
√(a2+b)≦-(a+1)
０＜√(a2+b) より、両辺２乗して
a2+b≦a2+2a+1
b≦2a+1
０＜-(a+1) より、
a＜-1
●a - √(a2+b)≧１
より、
√(a2+b)≦a - １
０＜√(a2+b) より、両辺２乗して
a2+b≦a2-2a+1
b≦-2a+1
０＜a - 1 より、
a＞１
以上より、
(1) ｂ≦−ａ2
(2) ０＜a2+b≦１ かつ b≦2a+1 かつ a＜-1
(3) ０＜a2+b≦１ かつ b≦-2a+1 かつ a＞１
(1) または (2) または (3) で表される領域が求める領域であり、下図のようになります。
緑が (1) の領域、赤が (2) の領域、青が (3) の領域です。
実際の解答には色分けする必要はありません。
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