問題
y=x2とy=2x+15のグラフが２点Ａ，Ｂで交わりy=x2上を原点Ｏから出発し、点Ｂまで動く点Ｐがある。
（１）点Ｐのx座標が２のとき、三角形ＡＰＢの面積を求めよ。
（２）直線y=-2x-1とy=x2の交点を求めよ。
（３）点ＰがＯからＢまで動くとき三角形ＡＰＢの面積の値が自然数となるような点Ｐは何個あるか。
解答
(1)
y=x2 と y=2x+15 を連立させて解くと、Ａ，Ｂの座標は、
Ａ：（−３，９）、Ｂ：（５，２５）
また、Ｐ：（２，４）
図より、△ＡＢＰの面積を求めると、
２１×８−３×２１÷２−５×５÷２−８×１６÷２＝６０
(2)
y=-2x-1とy=x2 を連立させて、
x2+2x+1＝0
(x+1)2＝0
ｘ＝-1 （重解）
ｙ＝１ よって、求める交点は（−１，１）
(3)
(2) の結果より、y=-2x-1 は、y=x2 に接するが、対称性より、
y=2x-1 も y=x2に接する。
つまり、Ｐが（１，１） であるときが、△ＡＢＰの面積は最大であり、
（ＡＢを底辺としたとき、点ＰがＡＢからもっとも離れる位置）
そのときの面積は、図より、６４（計算は省略）
一方、点Ｐが原点にあるとき、△ＡＢＰの面積は、６０
点ＰがＯからＢまで動くとき、面積は連続的に変化するので、
面積が自然数になるのは、点Ｏから点Ｐまで、
60, 61, 62, 63, 64
と増え、以下、点Ｂに至る直前まで、
63, 62, 61, ・・・ １
と変化する。
よって、求める個数は、
５＋６３＝６８（個）
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