問題
複素数 z＝ｘ+ｙi（ｘ＞0、ｙ＞0）が｜ｚ｜＝2の条件を満たしながら複素数平面を動くとき、
3点 ｚ、z~、1/ｚ を頂点とする三角形の面積の最大値と、そのときの ｚ を求めよ。
（ただし z~ は z の共役複素数。z~=x-yi）
解答１
ｚ、z~、1/ｚ の表す点をそれぞれＡ，Ｂ，Ｃとすると、それぞれの点は上図のような位置関係にあります。
ＢＣ＝(3/4)ＯＢ
より、
△ＡＢＣ＝(3/4)△ＡＢＯ
であり、△ＡＢＯの面積は、ＯＡを対角線とする長方形（辺がｘ軸、ｙ軸に平行）に等しいので、
△ＡＢＯ＝ｘｙ
ｘ＞０、ｙ＞０ より、相加・相乗平均の関係より、
√ｘｙ≦(x+y)/2
であり、等号はｘ＝ｙのとき。
よって、△ＡＢＣが最大となるのは、点Ａが偏角４５°のときであり、
ｚ＝√２＋√２ｉ
△ＡＢＣの面積は ３／２
解答２
ｚ、z~、1/ｚ の表す点をそれぞれＡ，Ｂ，Ｃとします。
z の偏角をθ とすると、ｚ、z~、1/ｚ はそれぞれ、
ｚ＝２(cosθ＋ｉ sinθ)
z~＝２(cosθ−ｉ sinθ)
1/z＝(1/2)(cosθ−ｉ sinθ)
と書けます。
△ＡＢＣにおいて、ＡＢを底辺としたときの高さ（点ＣからＡＢに下ろした垂線）をｈとすると、
ＡＢ＝４sinθ
ｈ＝(3/2)cosθ
であるので、△ＡＢＣの面積Ｓは、
Ｓ＝ＡＢ・ｈ/2＝３sinθcosθ＝(3/2)sin２θ
０＜θ＜９０° より、Ｓが最大となるのは、２θ＝９０°、つまりθ＝４５°のとき。
このとき、Ｓ＝３／２ であり、ｚ＝√２＋√２ｉ
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