問題
0≦x≦4における関数f(x)=x^2-2ax+2a+3の最大値をM(a),最小値をm(a)とする。
M(a),m(a)をそれぞれaの式で表せ。
解答
f(x)=x2-2ax+2a+3=(x-a)2-a2+2a+3
より、y=f(x) のグラフは、下に凸で、頂点が(a, -a2+2a+3) となります。
ｙが最小、最大になる位置は、ａの値によって、以下の４通りあります。
図の、○が最大値、●が最小値の位置です。
(1) ａ＜０ のとき
M(a)＝f(4)＝-6a+19
m(a)＝f(0)＝2a+3
(2) 0≦ａ≦２ のとき
M(a)＝f(4)＝-6a+19
m(a)＝f(a)＝-a2+2a+3
(3) ２≦ａ≦４ のとき
M(a)＝f(0)＝2a+3
m(a)＝f(a)＝-a2+2a+3
(4) ４＜ａ のとき
M(a)＝f(0)＝2a+3
m(4)＝f(4)＝-6a+19
となります。
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