問題
直角三角形ＡＢＣの斜辺ＢＣ上を点Ｐが動く。
Ｐから辺ＡＢ,ＡＣに 垂線ＰＱ,ＰＲを引く。
このとき△ＰＲＱの面積を最大にする点Ｐの位置を 求めよ。
解答
△ＰＲＱが最大のときは、長方形ＡＱＰＲが最大であり、すなわち
△ＱＢＰ＋△ＲＰＣの和が最小のときです。
ＢＰ：ＰＣ＝ｘ：（１−ｘ） （０≦ｘ≦１） とします。
△ＡＢＣ、△ＱＢＰ、△ＲＰＣ は相似であり、△ＡＢＣの面積をＳとすると、
△ＱＢＰ＝Ｓｘ2
△ＲＰＣ＝Ｓ(１−ｘ)2
よって、
ｘ2＋(１−ｘ)2
が最小となる ｘ を見つければいいことになります。
ｘ2＋(１−ｘ)2＝２ｘ2−２ｘ＋１
＝２(ｘ−1/2)2＋1/2
となり、ｘ＝1/2 のとき、最小値 1/2 をとります。
答え ＰがＢＣの中点であるとき
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