さくまさんからの質問１

問題
A〜Cの3人があるゲームをする。
まず2人が対戦し、以降その勝者とそのとき休みの者が次に対戦していく。
その結果、Aは60回、Bは40回ゲームをした。
このとき、Cのゲーム回数の最小値と最大値はそれぞれいくらか。

解答
一般化して考えます。
Ａ，Ｂ，Ｃ の試合回数を ａ，ｂ，ｃ とし、
Ｂ−Ｃの試合数をｘ、Ｃ−Ａの試合数をｙ、Ａ−Ｂの試合数をｚとします。
同じ試合は続けて行われず、違う試合は任意に繋げられるので、
ｘが一番多く行われるのは、
　ｘｙｘｙｘｚｘｚｘｙｘｙｘ
のように、ｘが１つおきに行われる場合です。
このことから、「ｘはたかだかｙ＋ｚ＋１以下である」ことが言えます。
ｙ、ｚについても同様で、
　ｘ≦ｙ＋ｚ＋１　・・・(1)
　ｙ≦ｚ＋ｘ＋１　・・・(2)
　ｚ≦ｘ＋ｙ＋１　・・・(3)
が同時に成り立つ必要があります。

一方、
　ａ＝ｙ＋ｚ
　ｂ＝ｚ＋ｘ
　ｃ＝ｘ＋ｙ
なので、これを解いて、
　ｘ＝（−ａ＋ｂ＋ｃ）／２
　ｙ＝（ａ−ｂ＋ｃ）／２
　ｚ＝（ａ＋ｂ−ｃ）／２
(1)(2)(3) に代入すると、
　（−ａ＋ｂ＋ｃ）／２≦ａ＋１
　（ａ−ｂ＋ｃ）／２≦ｂ＋１
　（ａ＋ｂ−ｃ）／２≦ｃ＋１
両辺２を掛けて整理すると
　ｂ＋ｃ≦３ａ＋２
　ｃ＋ａ≦３ｂ＋２
　ａ＋ｂ≦３ｃ＋２
ａ＝６０、ｂ＝４０ とすると、
　ｃ≦１４２
　ｃ≦６２
　ｃ≧９８／３≒３２．６６・・・
ｃは偶数なので、
　３４≦ｃ≦６２
となります。

答え　最小値３４，最大値６２

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