生鯖さんからの質問１

質問
86245159が11の倍数である事を証明しなさい。と言う問題があり答えは各位のうち右から奇数番目の数の和と右から偶数番めにある数の和が等しい場合11の倍数になるらしいっすけど何故ナンすか?

回答

　86245159
のように、各位の数を交互に２グループに分けて足します。
　8+2+5+5=20
　6+4+1+9=20
この２数の差が１１の倍数であれば、元の数も１１の倍数になります。
　20-20=0
０も１１の０倍ということで１１の倍数です。

では、何故これでいいかというと、ある正の整数
　ABCDEF
があるとします。文字は各位の数を表します。この数は、
　A×100000＋B×10000＋C×1000＋D×100＋E×10＋F
と表せます。さらに変形すると、
　A×(100001-1)＋B×(9999+1)＋C×(1001-1)＋D×(99+1)＋E×(11-1)＋F
＝A×100001＋B×9999＋C×1001＋D×99＋E×11＋(B＋D＋F)−(A＋C＋E)
＝11×(A×9091＋B×909＋C×91＋D×9＋E)＋(B＋D＋F)−(A＋C＋E)
となります。つまり、
　 (B＋D＋F)−(A＋C＋E)
が、１１の倍数であれば、元の数 ABCDEF は１１の倍数ということになります。

では、
　10+1,100-1,1000+1,10000-1,100000+1,・・・
が１１で割り切れることは、一般的に（ずっと大きな桁でも）いえるでしょうか？
これを証明するために、因数定理という定理を使います。

ｆ(χ)＝χⁿ−１　（ｎは０以上の整数）　とおくと、
ｎが偶数のとき　ｆ(-1)＝０　なので、ｆ(χ)　は χ＋１ で割り切れます。
ここで χ＝10 とおくと、　１０ⁿ−１　（ｎは偶数）　は　１１で割り切れます。
つまり、100-1,10000-1,1000000-1 などが １１ で割り切れます。

ｆ(χ)＝χⁿ＋１　（ｎは０以上の整数）　とおくと、
ｎが奇数のとき　ｆ(-1)＝０　なので、ｆ(χ)　は χ＋１ で割り切れます。
ここで χ＝10 とおくと、　１０ⁿ＋１　（ｎは奇数）　は　１１で割り切れます。
つまり、10+1,1000+1,100000+1 などが １１ で割り切れます。

以上より、この１１の倍数の見分け方が一般に有効であることがわかります。

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