ろーりーさんからの質問１

問題
数列{a_n}をa₁=1,a_n+1=3a_n/(3+a_n) (n=1,2,3, ......)によって定める。
(1)1/a₁, 1/a₂, 1/a₃ を求めよ。
(2)一般項a_nを求めよ。
(3)正の整数mに対して、Σ(n=1〜m)a_na_n+1を求めよ。

解答
(1)
　a₁=1
　a₂＝3a₁/(3+a₁)＝3/4
　a₃＝3a₂/(3+a₂)＝3/5
より、
　1/a₁＝1
　1/a₂＝4/3
　1/a₃＝5/3

(2)
(1) の結果より
　a_n＝3/(n+2)　・・・(i)
と予想できる。
n=1 のとき、
　a₁＝3/(1+2)＝１
より、(i) は成り立つ。
n=k のとき、(i) が成り立つとき、n=k+1 について考えると、
　a_ｋ+1＝3a_k/(3+a_k)＝{9/(k+2)}/{3+3/(k+2)}
　　＝9/(3k+9)＝3/{(k+1)+2}
となり、n=k+1 のときも、(i) が成り立つ。
以上より、任意の自然数について、
　a_n＝3/(n+2)
が成り立つ。

(3)
　a_na_n+1＝9/(n+2)(n+3)＝9{1/(n+2)−1/(n+3)}
より、
　Σ(n=1〜m)a_na_n+1＝9[{1/3−1/4}＋{1/4−1/5}＋・・・＋{1/(m+2)−1/(m+3)}]
　　＝9{1/3−1/(m+3)}＝3m/(m+3)

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