林檎さんからの質問1

問題1
abc≠0  a+b+c=0の時
a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b) の値を求めよ。

解答1
 a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)
 =a(b+c)/bc + b(c+a)/ca + c(a+b)/ab
 =a2(b+c)/bc + b2(c+a)/ca + c2(a+b)/ab
 =-(a3+b3+c3)/abc
一方
  (a+b+c)3=a3+b3+c3+3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a)+6abc
に a+b+c=0 を適用すると、
 03=a3+b3+c3-3abc-3abc-3abc+6abc
     =a3+b3+c3-3abc
よって、
 a3+b3+c3 = 3abc

ゆえに、
 a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)
  =-(a3+b3+c3)/abc
  =-3

問題2
2+b2>(a−1)(b+1)を証明せよ。

解答2
 (左辺)−(右辺)= a2+b2−ab−a+b+1
  = a2−a(b+1)+b2+b+1
  ={a−(b+1)/2}2−(b+1)2+b2+b+1
  ={a−(b+1)/2}2+(3b2+2b+3)/4
 3b2+2b+3=3(b+1/3)2+8/3>0
よって、(左辺)−(右辺)>0 となり、
題意は証明された。

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