林檎さんからの質問１

問題１
abc≠０　　a＋b＋c＝０の時
a(1/b＋1/c)＋b(1/c＋1/a)＋c(1/a＋1/b)　の値を求めよ。

解答１
　a(1/b＋1/c)＋b(1/c＋1/a)＋c(1/a＋1/b)
　＝a(b+c)/bc + b(c+a)/ca + c(a+b)/ab
　＝a²(b+c)/bc + b²(c+a)/ca + c²(a+b)/ab
　＝-(a³+b³+c³)/abc
一方
　 (a+b+c)³＝a³+b³+c³+3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a)+6abc
に a+b+c=0 を適用すると、
　0³＝a³+b³+c³-3abc-3abc-3abc+6abc
　　　　　＝a³+b³+c³-3abc
よって、
　a³+b³+c³ = 3abc

ゆえに、
　a(1/b＋1/c)＋b(1/c＋1/a)＋c(1/a＋1/b)
　　＝-(a³+b³+c³)/abc
　　＝-3

問題２
ａ²＋ｂ²＞（ａ−１)(b＋１）を証明せよ。

解答２
　(左辺)−(右辺)＝ ａ²＋ｂ²−ａｂ−ａ＋ｂ＋１
　　＝ ａ²−ａ（ｂ＋１）＋ｂ²＋ｂ＋１
　　＝{ａ−（ｂ＋１）/２}²−(ｂ＋１)²＋ｂ²＋ｂ＋１
　　＝{ａ−（ｂ＋１）/２}²＋(３ｂ²＋２ｂ＋３)/４
　３ｂ²＋２ｂ＋３＝３(ｂ＋1/3)²＋８/３＞０
よって、(左辺)−(右辺)＞０ となり、
題意は証明された。

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