問題
定義域がx≧0である４つの関数がある。
今、４点 A、B、C、Dはそれぞれ関数（１）−（４）のグラフ上にあって、
ABとDCはx軸に平行、BCとADはy軸に平行である。
点Aのx座標をa、原点をOとするとき、次の各問に答えよ。
y=x2---(1)
y=(x2)/3--(2)
y=-x2--(3)
y=kx2--(4)
(1)kの値を求めよ。
(2)四辺形ABCDが正方形になるときのaの値を求めよ。
(3)BDとx軸との交点をEとし、三角形AEBの面積が４(√3-1）であるときのaの値と三角形OEDの面積を求めよ。
解答
題意より、四角形ＡＢＣＤが長方形であることはすぐわかる。
Ａの座標を（ａ、ａ2）とおくと、Ｂのｙ座標も ａ2なので、このときＢのｘ座標ｘbは
ａ2=(ｘb2)/3
より、ｘb=√3a 。さらに、Ｃのｘ座標も √3a なので、Ｃのｙ座標ｙcは
ｙc=-(√3a)2=-3ａ2
よって、Ｄの座標は（ａ、-3ａ2）であり、y=kx2---(4) がこの点を通るためには、
-3ａ2=kａ2
ａ＞０より、ｋ＝-3 ・・・(1)の答え
ＡＢ＝√3ａ-ａ=(√3-1)ａ
ＢＣ＝ａ2-(-3ａ2)=4ａ2
四辺形ABCDが正方形になるためには、ＡＢ＝ＢＣ となればいいので、
(√3-1)ａ＝4ａ2
ａ＞０より、ａ＝(√3-1)/4 ・・・(2)の答え
△ＡＥＢの面積は
ＡＢ×ｙa÷２＝(√3-1)ａ×ａ2÷２＝４(√3-1）
より、ａ3＝８
ａは実数なので、ａ＝２ ・・・(3)の答え１
このとき、Ｂの座標：（2√3、4）、Ｄの座標：（2、-12）より、
ＢＤの直線の式は、
ｙ＝16(ｘ-2)/(2√3-2)-12
ｙ＝8(ｘ-2)/(√3-1)-12
ｙ＝０とすると、
0＝8(ｘ-2)/(√3-1)-12
8(ｘ-2)/(√3-1)=12
ｘ-2=3(√3-1)/2
ｘ=(3√3+1)/2
より、Ｅの座標：((3√3+1)/2, 0)
△ＯＥＤの面積は、
(3√3+1)/2×12÷２＝3(3√3+1)＝9√3+3 ・・・(3)の答え２
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