問題
図において、円Ｏと円Ｏ’は互いに外接し、それぞれ長方形の２辺と接している。
長方形ＡＢＣＤにおいて、ＡＢ＝ＣＤ＝１０、ＢＣ＝ＡＤ＝12、円Ｏの半径を４とするとき、
円Ｏ’の半径を求めよ。
解答
図のように２辺が長方形の辺に平行で、ＯＯ’を斜辺とする直角三角形を考える。
Ｏ’の半径を ｒ とすると、２辺は、８−ｒ、６−ｒ であり、斜辺は４＋ｒ であるので、三平方の定理より、
(８−ｒ)2＋(６−ｒ)2＝(４＋ｒ)2
展開して整理すると
ｒ2ー３６ｒ＋８４＝０
これを解いて、
ｒ＝１８±４√１５
１８＋４√１５＞１０ より不適。
よって、ｒ＝１８−４√１５
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