里奈さんからの質問６

問題
x、yを整数とする。x+yとx²+y²がともに13の倍数ならxもyも13の倍数であることを証明せよ。

解答
　ｘ＝１３ａ＋ｂ、ｙ＝１３ｃ＋ｄ と置きます。ただし、ａ と ｃ は整数、ｂ と ｄ は０以上１２以下の整数とします。
　ここで、ｂ、ｄ の少なくともどちらか一方は０でないと仮定します。
　ｘ＋ｙ＝１３（ａ＋ｃ）＋（ｂ＋ｄ） が１３の倍数であることより、
　　ｂ＋ｄ＝０ または ｂ＋ｄ＝１３
　ですが、ｂ＋ｄ＞０ より、ｂ＋ｄ＝１３
　x²+y²＝１６９ａ²＋２６ａｂ＋ｂ²＋１６９ｃ²＋２６ｃｄ＋ｄ²
　　＝１３（１３ａ²＋２ａｂ＋１３ｃ²＋２ｃｄ）＋（ｂ²＋ｄ²）
　が、１３の倍数であることより、
　　ｂ²＋ｄ² は１３の倍数。
　ｂ＋ｄ＝１３ より、 ｄ＝１３−ｂ を代入して、
　　ｂ²＋(１３−ｂ)²＝１３（１３−２ｂ）＋２ｂ²
　ここで、ｂ＝０ だと ｄ＝１３ となり不適。
　よって、ｂは１以上１２以下の整数となりますが、このとき ２ｂ² が１３を約数に持つことはあり得ません。
　従って、ｂ²＋ｄ² は１３の倍数とならず、x²+y² の１３の倍数となりません。
　よって、最初の仮定が誤っていたことになり、
　ｂ、ｄ はいずれも ０ となり、ｘ、ｙ はいずれも１３の倍数となります。

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