問題
４点A（２、１）、B（４、１）、C（４、８）、D（２、８）を頂点とする長方形ABCD がある。
放物線 y=ax2 （a>0） が長方形ABCDの周と、異なる２点P、Qで交わっている。
このとき次の問に答えなさ い。
（１） aがとる値の範囲を求めよ。
（２）線分PQによって長方形ABCDの面積が２等分されるときの a の値を求めよ。
解答
（１）
ａの値によって、 y=ax2 の形は上図のように変化します。
・ y=ax2が点Ｂ（４，１）を通るとき、 １＝ａ×４2 より、ａ＝1/16 です。
これより ａ の値が小さくなると、放物線は長方形から離れていきます。
・ y=ax2が点Ｄ（２，８）を通るとき、 ８＝ａ×２2 より、ａ＝２ です。
これより ａ の値が大きくなると、放物線は長方形から離れていきます。
また、y=ax2 が点Ｂ、点Ｄを通るときは、長方形と放物線の交点は１個です。
よって、y=ax2 が長方形と２点で交わるための、ａ の範囲は、
1/16＜ａ＜２
です。
（２）
線分ＰＱが、長方形ＡＢＣＤの面積を２等分するためには、ＰＱの中点が
長方形の重心（３，9/2） であればよい。
２点Ｐ、Ｑは、上図のように、ともに短辺上にある（図左）か、ともに長辺上に
ある（図右）かのいずれかです。
ところが、上図より、２点Ｐ、Ｑがともに短辺上にあることはないので
点Ｐは辺ＡＤ上、点Ｑは辺ＢＣ上にあるものとします。
点Ｐ、Ｑの座標はそれぞれ、Ｐ：（２，４ａ）、Ｑ：（４，１６ａ） と表せるので、
その中点は （３，１０ａ） になります。 中点の公式
よって、 １０ａ＝9/2 より、ａ＝9/20 となります。
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