里奈さんからの質問5

問題
4点A(2、1)、B(4、1)、C(4、8)、D(2、8)を頂点とする長方形ABCD がある。
放物線 y=ax2 (a>0) が長方形ABCDの周と、異なる2点P、Qで交わっている。
このとき次の問に答えなさ い。
(1) aがとる値の範囲を求めよ。
(2)線分PQによって長方形ABCDの面積が2等分されるときの a の値を求めよ。

解答
(1)
 
 aの値によって、 y=ax2 の形は上図のように変化します。
 
・ y=ax2が点B(4,1)を通るとき、 1=a×42 より、a=1/16 です。
 これより a の値が小さくなると、放物線は長方形から離れていきます。
・ y=ax2が点D(2,8)を通るとき、 8=a×22 より、a=2 です。
 これより a の値が大きくなると、放物線は長方形から離れていきます。
 また、y=ax2 が点B、点Dを通るときは、長方形と放物線の交点は1個です。
 よって、y=ax2 が長方形と2点で交わるための、a の範囲は、
  1/16<a<2
 です。
(2)
 線分PQが、長方形ABCDの面積を2等分するためには、PQの中点が
 長方形の重心(3,9/2) であればよい。
 
 2点P、Qは、上図のように、ともに短辺上にある(図左)か、ともに長辺上に
 ある(図右)かのいずれかです。
 
 ところが、上図より、2点P、Qがともに短辺上にあることはないので
 点Pは辺AD上、点Qは辺BC上にあるものとします。
 点P、Qの座標はそれぞれ、P:(2,4a)、Q:(4,16a) と表せるので、
 その中点は (3,10a) になります。 中点の公式
 よって、 10a=9/2 より、a=9/20 となります。

「算数・数学」の部屋に戻る