∠ABR＝∠RBPであるときに、BPの長さを求めなさい。
解答
里奈さんからの質問
問題
次の図でAB＝５ｃｍ、BC＝８ｃｍ、CA＝７ｃｍ、ABとQPが平行、
∠ABR＝∠RBPであるときに、BPの長さを求めなさい。
解答
条件より、ＢＱは、∠ＡＢＣの２等分線です。
まず、「角の２等分線の定理」というものを証明します。
図のように、点Ｃを通り、ＡＢに平行な直線と、ＢＱの交点をＤとすると、
ＡＢ//ＣＤより、
∠ＡＢＲ＝∠ＱＤＣ
また、条件より、
∠ＡＢＲ＝∠ＲＢＰ
よって、
∠ＲＢＰ＝∠ＱＤＣ
以上より、ＢＣ＝ＣＤ
一方、△ＡＢＱと△ＣＤＱの相似性より、
ＡＢ：ＣＤ＝ＡＱ：ＣＱ
以上より、
ＡＱ：ＣＱ＝ＡＢ:ＢＣ
つまり、「角の２等分線の定理」とは、
△ＡＢＣにおいて、∠ＡＢＣの２等分線と、ＡＣの交点をＱとするとき、
ＡＱ：ＣＱ＝ＡＢ:ＢＣ
さて、問題に戻ると、
角の２等分線の定理より、
ＡＱ：ＱＣ＝ＡＢ:ＢＣ＝５：８
一方、ＡＢ//ＱＰ より、
ＡＱ：ＱＣ＝ＢＰ：ＰＣ＝５：８
よって、ＢＰ＝ＢＣ×(５／１３)＝４０／１３・・・答え
別解
図のように、∠ＡＢＲ＝∠ＲＢＰ＝∠ＲＱＰ より、
ＢＰ＝ＰＱ
一方、△ＡＢＣと△ＱＰＣの相似性より、
ＡＢ:ＱＰ＝ＢＣ：ＰＣ
ＢＰ＝ＰＱ＝χ とおくと、
５ ： χ ＝ ８ ： (８−χ)
よって、
８χ＝５（８−χ）
８χ＝４０−５χ
１３χ＝４０
χ＝４０／１３・・・答え