問題１
2次方程式x2-(m-10)x+m+14=0の異なる2つの解が、ともに負になるmの範囲は□<m<□である。
問題２
2次方程式x2-ax+a2-4=0について、
(1)2つの解がともに正であるためのaの範囲を求めよ。
(2)1つの解だけが正であるためのaの範囲を求めよ。
問題３
2次方程式4x2-2ax+1=0の異なる2つの解がともに0<x<1の範囲にあるための定数aの値の範囲を求めよ。
解答
この手の問題は、
・条件を満たすグラフはどんな位置にあるか？そのための条件は？
・ポイントは、判別式、軸、境界線での値
です。
解答１
f(x)=x2-(m-10)x+m+14 とおきます。
２解がともに負になるのは、
このようなグラフです。
(1)
(2)
(3)
こういうのはダメです。
(1) のようにならないためには、f(0)＞０ でなければなりません。
それを満たしたとしても (2) のようになるかも知れないので、そうならないためには、
軸：ｘ＝(m-10)/2＜０
それも満たしても、(3) のようになるかも知れないので、そうならないためには、
判別式が正でなければなりません。
以上より、
f(0)=m+14＞０
(m-10)/2＜０
(m-10)2−４(m+14)＞０
それぞれ、
m＞-14
m＜10
m＜２ または m＞22
よって、-14＜m＜２
以下は、グラフを自分で描いてください。
解答２
f(x)=x2-ax+a2-4 とおきます。
(1)
f(0)=a2-4＞０
軸：a/2＞０
判別式：a2−４(a2-4)=-3a2+16＞０
それぞれ解くと、
ａ＜−２ または ａ＞２
ａ＞０
-4/√3＜ａ＜4/√3（≒2.3）
以上より、
２＜ａ＜4/√3
(2)
２解が正と負であるとき、満たすべき条件は
f(0)＜０
だけです。これさえ満たせば、判別式は自動的に正になるし、
軸の位置に関係なく、２解は正と負に分かれます。
よって、
f(0)a2-4＜０
よって、 −２＜ａ＜２
２解が０と正であるとき、
ｘ＝０ を代入すると、
a2-4＝０
より、ａ＝±２
このとき、f(x)＝x2-ax＝x(x-a) と書け、
２解は、ｘ＝０ と ｘ＝ａ になります。
条件（１つの解が正）より、ａ＞０。よって、ａ＝２
以上より、
−２＜ａ≦２
解答３
f(x)＝4x2-2ax+1 とおきます。
満たすべき条件は、
f(0)＝１＞０
f(1)＝−２ａ＋５＞０
軸：a/4 が０と１の間になる。つまり ０＜a/4＜１
判別式：ａ2−４＞０
それぞれ解くと、
ａ＜5/2
０＜ａ＜４
ａ＜−２ または ａ＞２
以上より、
２＜ａ＜5/2
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