問題
底辺が1辺6の正三角形で、ABが高さである三角錐A-BCDがあり、AC＝9である。
この三角錐をABを軸として回転するとき、三角形ACDの通る部分の体積を求めよ。
解答
ＡＢが高さであるので、∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＤ＝90°である。
また、△ＡＢＣにおける三平方の定理より、
ＡＢ＝√(92-62)＝√45＝3√5
この三角錐をＡＢを軸に回転した図は以下の通りである。
また、これを、軸の方向から見ると、下のようになり、辺ＣＤの通る部分は、
図の、２つの円にはさまれた部分となる。
よって、求める立体は、大円を底面とし高さＡＢの円錐から、
小円を底面とし高さＡＢの円錐を引いた立体である。
大円の半径は、ＢＣ＝６ 面積は ３６π
小円の半径は、ＣＤの中点をＭとするとき、ＢＭ＝３√３ 面積は２７π
体積は （３６π−２７π）×３√５÷３＝９√５π
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