問題
座標平面上の４点（０，０）（１，０）（１，１）（０，１）を頂点とする正方形の周および内部をFとする。
Fと放物線y=(x-a)2+bが共有点をもつための実数a,bの条件を求めよ。
解答
まず、放物線 y=(x-a)2+b は下に凸で、頂点は(a, b) です。
頂点がＦの中にある時は、当然条件を満たします。よって、
０≦ａ≦１ かつ ０≦ｂ≦１
それ以外の場合で、共有点を持つのは、下図のような場合です。
つまり、 f(x)＝(x-a)2+b
とおくとき、
f(0)≦１ かつ f(1)≧０ (左図)
または
f(0)≧０ かつ f(1)≦１ (右図)
ａ，ｂ の式で表すと、
a2+b≦１ かつ (a-1)2+b≧０
または
a2+b≧０ かつ (a-1)2+b≦１
これらを図示すると、以下のようになります。
横軸ａ、縦軸ｂ で、正方形の１辺は１です。
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