Rainbow Quest さんからの質問１
問題
実数x,y,zがx+2y+z=1をみたしながら変わるとき、3x2-2y2+z2の最小値を求めよ。
解答
x+2y+z=1 を変形して
z=1-x-2y
これを、3x2-2y2+z2 に代入して展開すると
3x2-2y2+z2＝3x2-2y2+(1-x-2y)2
＝4x2+2y2+4xy-2x-4y+1
これをまず、ｙの二次式とみなして、平方の形にします。
(与式)＝2(y2+2xy-2y)+4x2-2x+1
＝2{y2+2(x-1)y+(x-1)2}-2(x-1)2+4x2-2x+1
＝2(y+x-1)2+2x2+2x-1
この時点で、y=-x+1 のとき最小値 2x2+2x-1 であるという形になっています。
さらに、2x2+2x-1 の最小値を求めます。
2x2+2x-1＝2(x2+x+1/4)-1/2-1
＝2(x+1/2)2-3/2
以上をまとめると、
3x2-2y2+z2＝2(y+x-1)2+2(x+1/2)2-3/2
となります。( )2の部分が０になるときが最小なので、
x=-1/2, y=1-x=3/2, z=1-x-2y=-3/2
のとき、最小値 -3/2 になります。
算数・数学の部屋に戻る