問題
一辺の長さが√２cmの正四面体Ｐ−ＱＲＳの４頂点を中心とし、
半径がすべて ｒ cm に等しい球がある。
さらにその４つの球に外接する球Ｏがあって、この球Ｏの半径もまた ｒ cmである。
この ｒ の大きさを立方体を用いて求めたい。
（１）立方体ＡＢＣＤ−ＥＦＧＨの適当な４頂点を結んで正四面体の見取り図を作る事が出来る。
１頂点をＡとするとき正四面体の見取り図をかけ。
（２） （１）で作った正四面体が正四面体ＰＱＲＳと合同であるとき、立方体ＡＢＣＤ−ＥＦＧＨ
の一辺の長さを求めよ。
（３）球の中心を考えて ｒ を求めよ。
解答
（１） 正方形から、４つの三角錐を切り取って、正四面体を作る図は、
作り散らかした画像集の中にあるので、それに適当にＡＢＣ・・・を付ければ出来上がりです。
（２）このとき、正四面体の１辺は、元の立方体の１つの面の対角線になっており、
それが√２ cm なので、立方体ＡＢＣＤ−ＥＦＧＨの１辺は１ cm。
（３）つまり、この立方体で、正四面体の頂点にならなかった頂点を中心にして、
半径 ｒ cm の球を置いても、やはり中心の球と接する。
下図において、実線が正四面体の頂点および中心を中心とする球。
破線が、それ以外の立方体の頂点を中心とする球。図では、点Ｄを中心とする球（破線）
は描いていない。また、隠れて見えないが、点Ｆを中心とする球（実線）がある。
ここで、中心をＯとすると、立方体の対角線（例えば、ＣＥ）の中点が点Ｏであり、３点Ｃ、Ｏ、Ｅ
を中心とする球は図のように、接しながら、一直線上に並ぶ。
ＣＥの長さは√３ cm なので、球の半径 ｒ は
ｒ＝√３/４
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