雷同さんからの質問1

問題
放物線 y=ax2 と、点A(−6、0)を通る直線が、2点B,Cで交わっており
 AB:AC=1:4
である。2点B、Cのx座標をそれぞれ求めよ。

解答
雷同さんからの質問
点A、B、Cの位置関係は上の図のようになります。(点B、Cの候補となる位置は点Aに対して
左右2通りあります。ただし、最初から2通りあることに気がつく必要はありません。)
点B、Cから x軸におろした垂線の足を点B’、C’ とすると、
 AB’:AC’=AB:AC=1:4 です。

ここで、点B’:(α、0)、点C’:(β、0) とおくと、α、βが求めるx座標になります。
一方、点A(−6,0)を通る直線で、y軸に垂直な直線 x=−6 は、条件に合わないことが明らか
なので、それ以外の直線はすべて
 y=m(x+6)
で表されます。よって、連立方程式
 y=ax2 ・・・(1)
 y=m(x+6) ・・・(2)
の解が点B、Cとなります。
(1),(2) より、yを消去して、
 ax2−mx−6m=0
これの2解がα、βなので、解と係数の関係より
 α+β=m/a ・・・(3)
 αβ=−6m/a ・・・(4)
また、AB’:AC’=1:4 より、
 β+6=4(α+6)

変形して
 β=4α+18 ・・・(5)
(3)(4) より、
 αβ=−6(α+β)
(5) を代入して
 α(4α+18)=−6(5α+18)
 4α2+48α+108=0
 α2+12α+27=0
これを解いて、
 α=−3,−9
(5) よりβを求めると
 (α、β)=(−3,6)または(−9,−18)
答え 点B、点Cのx座標は、−3と6 または −9と−18

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