quoさんからの質問

問題
xy平面において、放物線y=x²と円x²+(y-p)²=r²が異なる４個の共有点をもつための実数p､rの条件、
また異なる２個の共有点をもつときの条件を考 えよ。

解答
　x²+(y-p)²=r² に y=x² を代入して、
　x²+(x²-p)²=r²
X=x² とおいて、展開して整理すると、
　X²+(1-2p)X+(p²-r²)=0　………(1)
（円は、同じｘの値で２つの点を持ち得ますが、放物線はそうではないので、ｘの解の数で判別します）

異なる４個の共有点をもつためには、(1) が異なる２つの正の解を持つ。
異なる２個の共有点をもつためには、(1) が正負１つずつの解を持つ、または、正の重解を持つ。

以下、f(X)=X²+(1-2p)X+(p²-r²)とおきます。

(a) (1) が異なる２つの正の解を持つ
　軸：(2p-1)/2＞0
　判別式：(1-2p)²-4(p²-r²)＞0
　f(0)＝p²-r²＞0
　以上より、
　p＞1/2, p＜r²+1/4, p²＞r²
　よって、図のような範囲になります。
　ただし、境界上の点は含まない。
　
(b) (1) が正負１つずつの解を持つ
　f(0)＜0
　より、p²-r²＜0
(c) (1) が正の重解を持つ
　軸：(2p-1)/2＞0
　判別式：(1-2p)²-4(p²-r²)＝0
　以上より、p＞1/2, p＝r²+1/4
　よって(b)(c) あわせて、図のような範囲になります。
　ただし、直線ｐ＝ｒ、ｐ＝−ｒの点は含まない。
　

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