パゲさんさんからの質問1
問題
次の式を因数分解せよ。
(1) (a+b)2x4−2(a2+b2)x2y2+(a−b)2y4
(2) (1−y)2x4−(y4−2y2+2)x2+(1+y)2
解答
いずれも、公式
acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)
および、その発展形
acx2+(ad+bc)xy+bdy2=(ax+by)(cx+dy)
を使います。
これを解くための「たすきがけ」という方法を使います。
(1)
X=x2, Y=y2 とおきます。
(与式)=(a+b)2X2−2(a2+b2)XY+(a−b)2Y2
ここでたすきがけを使って
(与式)={(a+b)2X−(a−b)2Y}(X−Y)
={(a+b)2x2−(a−b)2y2}(x2−y2)
さらに x2−y2=(x+y)(x−y) を使って
(与式)={(a+b)x+(a−b)y}{(a+b)x−(a−b)y}(x+y)(x−y)
を得ます。
(2)
X=x2 とおきます。
(与式)=(1−y)2X2−(y4−2y2+2)X+(1+y)2
たすきがけを使って
より、
(与式)={(1−y)2X−1}{X−(1+y)2}
={(1−y)2x2−1}{x2−(1+y)2}
さらに x2−y2=(x+y)(x−y) を使って
(与式)={(1−y)x+1}{(1−y)x−1}{x+(1+y)}{x−(1+y)}
={(1−y)x+1}{(1−y)x−1}(x+1+y)(x−1−y)
を得ます。
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