NSDYさんからの質問１
問題
四角錐OABCDにおいて、底面ABCDは平行四辺形。
辺ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ上に点Ａ１、Ｂ1、Ｃ1 をＯＡ1=ＯＡ/3, ＯＢ1=ＯＢ/4, ＯＣ1=ＯＣ/5､となるようにとる。
３点Ａ１、Ｂ1、Ｃ1を通る平面と辺ＯＤとの交点をＤ１とするときＯＤ1/ＯＤを求めよ。
解答 （以下、太字はベクトルを表します）
ａ＝ＯＡ、ｂ＝ＯＢ、ｃ＝ＯＣ、ｄ＝ＯＤ、ａ1＝ＯＡ1、ｂ1＝ＯＢ1、ｃ1＝ＯＣ1、ｄ1＝ＯＤ1
条件より、ＡＤ＝ＢＣ よって、 ｄ−ａ＝ｃ−ｂ ∴ ｄ＝ａ−ｂ＋ｃ
また、ａ1＝ａ/3、ｂ1＝ｂ/4、ｃ1＝ｃ/5
| 同一直線上にない３点Ａ(ａ)、Ｂ(ｂ)、Ｃ(ｃ)を通る平面上の任意の点Ｄ(ｄ)は ｄ＝ｓａ＋ｔｂ＋ｕｃ ただし ｓ＋ｔ＋ｕ＝１ で表される。 |
この性質により、
ｄ1＝ｓａ1＋ｔｂ1＋ｕｃ1
＝ｓａ/3＋ｔｂ/4＋ｕｃ/5
Ｄ1はＯＤ上にあるので、 ｄ1＝ｋｄ （ｋは実数）とおける。
ｄ1＝ｓａ/3＋ｔｂ/4＋ｕｃ/5＝ｋｄ＝ｋ(ａ−ｂ＋ｃ)
よって、ｓ/3：ｔ/4：ｕ/5＝１：−１：１ ∴ ｓ：ｔ：ｕ＝３：−４：５
ｓ＋ｔ＋ｕ＝１ より、 ｓ＝3/4、ｔ＝−１、ｕ＝5/4
このとき、
ｄ1＝ｄ/4
となり、ＯＤ1/ＯＤ＝１／４・・・答え
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