にのけいさんからの質問１

１．
次の等式を満たすθの値、または、不等式を満たすθの値を求めよ。ただし、０°≦θ≦３６０°とする。
（１）ｃｏｓθ＝−√３／２
（２）ｓｉｎθ＝−√２／２
（３）ｔａｎθ＝√３
（４）ｃｏｓθ＝−１
（５）ｓｉｎθ≦１／２
（６）ｃｏｓθ＞１／２

２．
　０°≦θ＜３６０°のとき、次の方程式、不等式を満たすθの値またはθの値の範囲を求めよ。
（１）２cos²θ+５sinθ+１＝０
（２）２sin²θ−３cosθ＜０
（３）２cos²θ−sinθ−１≦０

３．
　０°≦θ＜３６０°のとき、次の方程式、不等式を満たすθの値、またはθの値の範囲を求めよ。
（１）tan²θ＝tanθ
（２）cos(θ＋６０°)＝√３／２
（３）２cos²θ＜cosθ
（４）sin(θ−120°)＜０

４．
　０°≦θ＜３６０°のとき、θについての方程式
　　４cosθ−sin²θ＝ａ　・・・(i)
　について以下の問いに答えよ。
（１）左辺をｙとおき、cosθ＝ｔ とおいて、左辺をｔの式で表せ。また、ｙとｔの関係をグラフで示せ。
（２）方程式(i)を満たすθが存在するように、ａの値の範囲を求めよ。

５．
　関数ｙ＝２cos２θ+４sinθ+１の最大値、最小値とそのときのθの値を求めよ。
　ただし、−９０°≦θ≦９０°とする。

６．
次の各場合について、ｙ＝０となるｘの値、および、ｙの最大値を求めよ。ただし、０°≦ｘ＜１８０°とする。
（１）ｙ＝sinｘ−cosｘ
（２）ｙ＝cosｘ＋√３sinｘ

解答

　三角関数の問題を解くには、ある角度θが与えられたとき、sinθ、cosθ、tanθを
正しく計算できることが重要です。
　上図のように、単位円（原点中心、半径１の円）を描き、点Ａ：（１，０）を原点のまわりに
反時計回りに角度θだけ回転した点Ｂのｘ座標が cosθ、ｙ座標が sinθ となり、直線ＯＢと、
直線ｘ＝１との交点Ｃのｙ座標が tanθ となります。

１．
（１）ｃｏｓθ＝−√３／２

　単位円上でｘ座標が−√３／２　となる角θは、図より θ＝１５０°，２１０°
　※特殊な場合(0°,90°,180°,270°など)を除いて、θの値は２カ所あります。

（２）ｓｉｎθ＝−√２／２

　単位円上でｙ座標が−√２／２　となる角θは、図より　θ＝２２５°，３１５°

（３）ｔａｎθ＝√３

　点（１，√３）を結ぶ直線と単位円の交点より、θ＝６０°，２４０°

（４）ｃｏｓθ＝−１
　　単位円上でｘ座標が−１になるのは　θ＝１８０°　だけです。

（５）ｓｉｎθ≦１／２
　　単位円上でｙ座標が１／２以下になるのは、図のような範囲です。

　θのとるべき範囲を　０°≦θ≦３６０°の範囲の角度で表すと、
　０°≦θ≦３０°　または　１５０°≦θ≦３６０°

（６）ｃｏｓθ＞１／２
　単位円上でｙ座標が１／２より大きくなるのは、図のような範囲です。

　θのとるべき範囲を　０°≦θ≦３６０°の範囲の角度で表すと、
　０°≦θ＜６０°　または　３００°＜θ≦３６０°
　境界上の角度は含まないことに注意（≦　ではなく　＜である）

２．
　この問題を解くには、１．のような問題が確実に解けることと、いくつかの公式が使えることが
必要です。ここで使う公式は、
　sin²θ＋cos²θ＝１・・・・・・(a)
です。
　２．の３問はいずれも、
　　1) sinθ または cosθ の値がいくつかを求める。
　　2) １．と同じように、角度θを求める
の手順です。

（１）２cos²θ+５sinθ+１＝０
　　sin と cos の両方が混じっているので、公式(a) を使って、cos²θ を sin²θ に
　変えてしまうことを考えます。
　(a) より、
　　cos²θ＝１−sin²θ
　これを、与式に代入して、
　　２(１−sin²θ)＋５sinθ+１＝０
　整理して、
　　−２sin²θ＋５sinθ＋３＝０
　ｘ＝sinθ とおいて、整理すると、（慣れれば、ｘとおかなくてもできます）
　　２ｘ²−５ｘ−３＝０
　これを　−１≦ｘ≦１　の範囲で解いて、
　（２ｘ＋１）（ｘ−３）＝０
　　ｘ＝−１／２
　つまり、sinθ＝−１／２
　　θ＝２１０°、３３０°

（２）２sin²θ−３cosθ＜０
　sin²θ＝１−cos²θ　より、
　　２(１−cos²θ)−３cosθ＜０
　整理して（今度は ｘ＝cosθ とおかないでみます）
　　２cos2θ＋３cosθ−２＞０　（不等号の向きに注意！）
　　(２cosθ−１)(cosθ＋２)＞０
　　cosθ＜−２　または　１／２＜cosθ
　−１≦cosθ≦１　であることを考慮すると、
　　１／２＜cosθ≦１
　が、求める範囲です。
　これを、０°≦θ＜３６０°　の範囲で解くと、図より、
　　０°≦θ＜６０°　または　３００°＜θ＜３６０°


（３）２cos²θ−sinθ−１≦０
　cos²θ＝１−sin²θ　より、
　　２(１−sin²θ)−sinθ−１≦０
　整理して、
　　２sin²θ＋sinθ−１≧０
　　(２sinθ−１)(sinθ＋１)≧０
　　sinθ≦−１　または　１／２≦sinθ
　−１≦sinθ≦１　であることを考慮すると、
　sinθ＝−１　または　１／２≦sinθ≦１
　これを、０°≦θ＜３６０°　の範囲で解くと、
　　θ＝２７０°　または　３０°≦θ１５０°

３．
　考え方と手順は、２．とほとんど同じです。

（１）tan²θ＝tanθ
　tanθ についての２次方程式として解くと、
　　tan²θ−tanθ＝０
　　tanθ(tanθ−１)＝０
　　tanθ＝０，１
　tanθ＝０　のとき　θ＝０°、１８０°
　tanθ＝１　のとき　θ＝４５°、２２５°
　　答え：θ＝０°、４５°、１８０°、２２５°

（２）cos(θ＋６０°)＝√３／２
　φ＝θ＋６０°　とおくと、
　　cosφ＝√３／２・・・(1)
　を解くだけの問題です。ただし、角度の範囲が
　　６０°≦φ＜４２０°
　である点に注意するだけです。この範囲で、(1) を解くと、
　　φ＝３３０°、３９０°
　　θ＝φ−６０°
　より、
　　θ＝２７０°、３３０°

（３）２cos²θ＜cosθ
　整理して、
　　２cos²θ−cosθ＜０
　　cosθ(２cosθ−１)＜０
　これを解いて、
　　０＜cosθ＜１／２
　よって、
　　０≦θ＜６０°　または　３００°≦θ＜３６０°

（４）sin(θ−120°)＜０
　　φ＝θ−120°
　とおくと、
　　sinφ＜０　　−１２０°≦φ＜２４０°
　　−１２０°≦φ＜０　または　１８０°＜φ＜２４０°
　　θ＝φ＋１２０°
　より
　　０≦θ＜１２０°　または　３００°＜θ＜３６０°

４．
（１）
　　ｙ＝４cosθ−sin²θ
　とおく。
　　sin²θ＝１−cos²θ
　より、
　　ｙ＝４cosθ−(１−cos²θ)
　ｔ＝cosθ　とおくと、
　　ｙ＝ｔ²＋４ｔ−１・・・(i)
　　ｙ＝(ｔ＋２)²−５
　より、(i) のグラフは、ｙ＝ｔ² のグラフをｘ軸方向に−２、ｙ軸方向に−５　移動したグラフとなる。
　但し　−１≦ｔ≦１
　　

（２）
　（１）のグラフより
　　−４≦ａ≦４

５．
　倍角の公式より、
　　ｙ＝２cos２θ＋４sinθ＋１
　　　＝２(１−２sin²θ)＋４sinθ＋１
　ｔ＝sinθ　とおくと、
　　ｙ＝−４ｔ²＋４ｔ＋３　−１≦ｔ≦１
　　ｙ＝f(t)　とおくと、
　　f(t)＝−４(ｔ−1/2)²＋４
　　f(-1)＝−５、f(1/2)＝４、f(1)＝３
　より、
　ｔ＝−１　つまり　θ＝−９０°　のとき　最小値　−５
　ｔ＝1/2 　つまり　θ＝３０°　のとき　最大値　４

６．
　この問題は、三角関数の加法定理を使う問題です。

（１）ｙ＝sinｘ−cosｘ
　　cos(-45°)＝√２／２　sin(-45°)＝−√２／２
　に対し、
　　ｙ＝√２{cos(-45°)sinｘ＋sin(-45°)cosｘ}
　が成り立ちます。三角関数の加法定理より、
　　ｙ＝√２sin(ｘ−４５°)
　　０°≦ｘ＜１８０°
　のとき、
　　−４５°≦ｘ−４５°＜１３５°
　であり、ｙ＝０となるのは、ｘ−４５°＝０　つまり　ｘ＝４５°のとき
　また、ｘ−４５°＝９０°　つまり　ｘ＝１３５°のとき　ｙの最大値√２

（２）ｙ＝cosｘ＋√３sinｘ
　　sin30°＝１／２　cos30°＝√３／２
　に対し、
　　ｙ＝２(sin30°cosｘ＋cos30°sinｘ)
　が成り立ちます。三角関数の加法定理より、
　　ｙ＝２sin(ｘ＋30°)
　　０°≦ｘ＜１８０°
　のとき、
　　３０°≦ｘ＋３０°＜２１０°
　であり、ｙ＝０となるのは、ｘ＋３０°＝１８０°　つまり　ｘ＝１５０°のとき
　また、ｘ＋３０°＝９０°　つまり　ｘ＝６０°のとき　ｙの最大値２

（参考）三角関数の加法定理

　sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
　sin(α−β)＝sinαcosβ−cosαsinβ
　cos(α＋β)＝cosαcosβ−sinαsinβ
　cos(α−β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
　tan は省略

また　（α＋β）を含む式で　α＝β　とおくと、２倍角の公式ができます。

倍角の公式
　sin２α＝２sinαcosα
　cos２α＝cos²α−sin²α
　　　　　＝２cos²α−１
　　　　　＝１−２sin²α

加法定理の応用（名前は知りません）
　
　こちらの方の公式は、そのまま覚えるのは大変なので、以下のようにして、
公式の成り立ちを、よく理解してください。

　もし、ａsinｘ＋ｂcosｘ　の、係数ａ、ｂについて
　　ａ＝cosｙ、ｂ＝sinｙ
　となるような角度ｙが存在すれば、加法定理によって、ただちに
　　ａsinｘ＋ｂcosｘ＝cosｙsinｘ＋sinｙcosｘ＝sin(ｘ＋ｙ)
　と書けます。
　ところが、一般にはそのようにはなりません。
　２実数ａ、ｂが、
　　ａ＝cosｙ、ｂ＝sinｙ
　の形になるためには、
　　ａ²＋ｂ²＝１
　が成り立たなければなりません。
　任意の２実数ａ、ｂについて、これは必ずしも成り立ちませんが、
　 ａ²＋ｂ²≠０
　のとき、
　　ａ'＝ａ／√(ａ²＋ｂ²)　ｂ'＝ｂ／√(ａ²＋ｂ²)
　とおくと、ａ'、ｂ' は、
　　ａ'²＋ｂ'²＝１
　を満たし、ある角度φについて、
　　ａ'＝cosφ、ｂ'＝sinφ
　とおくことができます。これを用いて
　　ａsinｘ＋ｂcosｘ
　を変形すると、
　　ａsinｘ＋ｂcosｘ＝√(ａ²＋ｂ²){ａ'sinｘ＋ｂ'cosｘ}
　　　　＝√(ａ²＋ｂ²){cosφsinｘ＋sinφcosｘ}
　　　　＝√(ａ²＋ｂ²)sin(ｘ＋φ)
　となります。
　上記の問題では、角度φを具体的に見つけていくことがポイントになります。
　

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