問題
２次方程式 x^2-2tx+t^2-3t=0 の異なる解がともに0より大きくなるように、定数tの値の範囲を求めた。
次のア〜ケをうめよ。ただし＊には＞、＜、≧、≦のいずれかを入れよ。
f(x)=x^2-2tx+t^2-3tとおく。
頂点の座標は(ア,イ）
異なる２つの解が、ともに0より大きくなる条件は、グラフが下に凸より、
・頂点のy座標(＊ウ)0より、t＞エ
・頂点のx座標(＊オ)0
・f(0)(＊カ）0より、t＜キまたはク＜t
が成り立つことである。
よって、求める定数tの値の範囲はケ＜tである。
解答
グラフはこのようになります。
f(x)=x^2-2tx+t^2-3t
を変形して
f(x)=(x-t)^2-3t
よって、頂点の座標は (t,-3t) ・・・（ア）（イ）
異なる２つの解が、ともに0より大きくなる条件は、グラフが下に凸より、
・頂点のy座標＜0より、t＞０ ・・・（ウ）（エ）
・頂点のx座標＞0 ・・・（オ）
・f(0)＞0より、 ・・・（カ）
f(0)＝t^2-3t＝t(t-3)＞０
よって、
t＜０または３＜t ・・・（キ）（ク）
よって、求める定数tの値の範囲は３＜tである。 ・・・（ケ）
このような、穴埋めでない場合は、次のようにしても解けます。
f(x)=x^2-2tx+t^2-3t
の解をα、β とすると、解と係数の関係より
α+β＝2t、αβ＝t^2-3t
α、βともに正であるには、α+β＞０ かつ αβ＞０ が必要。つまり、
2t＞０ かつ t^2-3t＞０
また、判別式を取って、
D/4＝3t＞０
以上より、求める範囲は、３＜ｔ となります。
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