むらさんからの質問

問題
 X = 4L1/4{(w/r)L}1/4
を L について解く。

解答
 指数に関するいくつかの公式があります。
  aman = am+n
  am/an = am-n
  (ab)m=ambm
  (am)n=amn
  a-m=1/am
 などです。
 これらは、指数が整数の時は、簡単に示せます。
 それを、整数以外の実数(ときには複素数)にも応用します。

 まず、 L1/4 の意味ですが、
   L1/4 ×L1/4 ×L1/4 ×L1/4=L1/4+1/4+1/4+1/4=L
となり、『4乗して L になる数』という意味です。
きっちりした値になる例をあげると、
 161/4 = 2, 811/4 = 3, 2561/4 = 4 などです。
きっちりしない値の場合は、そのまま 51/4 のように書いたり、
と書いたりします。

さて、問題の方ですが、公式を使って、機械的に解いてみます。
 X = 4L1/4{(w/r)L}1/4
カッコをはずして
 X = 4L1/4(w/r)1/4L1/4
整理して
 X = 4L1/2(w/r)1/4
←L1/4×L1/4=L1/4+1/4=L1/2
両辺2乗して
 X2 = 16L(w/r)1/2
←{(w/r)1/4}2 = (w/r)1/4×2 = (w/r)1/2
L について整理して
 L = (X2/16) ÷ (w/r)1/2
  = (X2/16)・(r/w)1/2
←1/(w/r)1/2 = (w/r)-1/2 = w-1/2/r-1/2
  = 1/w1/2÷1/r1/2 = r1/2/w1/2=(r/w)1/2

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