問題
同じ半径ｒであり、異なる中心Ｏ１、Ｏ２、Ｏ３をもつ３つの円がある。
これらが点Ｎにより交わるとき、それぞれもう1方の交点Ａ、Ｂ，Ｃを通る円を描い た。
このときの円の半径を求めよ。
解答
図１のように、各円の中心と円周上の点を結ぶと３つの菱形が出来ます。
それらを抜き出したのが図２です。記号はつけ直しています。
ａ＝∠ＤＡＥ＝∠ＤＮＥ、 ｂ＝∠ＥＢＦ＝∠ＥＮＦ、 ｃ＝∠ＦＣＤ＝∠ＦＮＤ
と決めます。このとき
ａ＋ｂ＋ｃ＝∠ＤＮＥ＋∠ＥＮＦ＋∠ＦＮＤ＝360°
です。また、
ＡＥ//ＣＦ、 ＡＤ//ＢＦ
より、
∠ＣＦＢ＝ａ
同様に
∠ＡＤＣ＝ｂ、 ∠ＡＥＢ＝ｃ
図３において、点Ｇを△ＡＢＣの外心とすると、ＡＧ＝ＢＧ＝ＣＧより、
角ｄ，ｅ，ｆ を図のように決めることが出来ます。
∠ＤＣＡ＝(180°−ｂ）/2、 ∠ＦＣＢ＝(180°−ａ）/2
より、
∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＦ−∠ＤＣＡ−∠ＦＣＢ＝ｃ−（360°−ａ−ｂ）/2
＝ｃ−ｃ/2＝ｃ/2
同様に
∠ＣＡＢ＝ａ/2、 ∠ＡＢＣ＝ｂ/2
よって、
ｄ＋ｅ＝ａ/2、 ｅ＋ｆ＝ｂ/2、 ｆ＋ｄ＝ｃ/2
を解くと、３式加えて
ｄ＋ｅ＋ｆ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）/4＝90°
ｄ＝90°−（ｅ＋ｆ）＝90°−ｂ/2＝∠ＤＣＡ
よって、四角形ＤＡＧＣは菱形となり、
ＧＣ＝ＤＣ＝ｒ
つまり、
ＡＧ＝ＢＧ＝ＣＧ＝ｒ
答え ｒ
「算数・数学」の部屋に戻る