miumiu さんからの質問１

問題
どの３点も一直線上にない、４点ABCDがあり、それぞれの２点を結ぶ直線は６本ひける。
その交点は何個できるか？
ただし、どの２直線も平行でないとする。

解答

図から、明らかに７個なのですが、計算で求めてみます。

まず、２点を結ぶ直線が６本ひけるというのは、
　A,B,C,D の中から ２点を選べば、それぞれ異なる直線が引けるので、
　　４×３÷２＝６
です。

これは、組み合わせという考え方で、まず、A,B,C,D ４個の文字から２個を選び、
並べる並べ方を考えます。
　１個目に選ぶのは、A,B,C,D の４通り、２個目に選ぶのは、最初に選ばなかった
３個のうちの一つなので、３通りで、合計４×３＝１２通りです。つまり
　AB　AC　AD　　BA　BC　BD　　CA　CB　CD　　DA　DB　DC
の１２通りです。
これを、４個から２個選ぶときの順列といい、4Ｐ2 と書きます。4Ｐ2＝12 です。
このうち、AB と BA、AC と CA など、並び順が違うだけで、中身は同じものが、
それぞれ２組ずつあります。この問題の場合、直線AB と 直線BA は同じ直線なので、
これらは１つとして数えます。すると、直線の数は
　１２÷２＝６
となります。これを、４個から２個選ぶときの組み合わせといい、4Ｃ2 と書きます。4Ｃ2＝６です。
一般に、ｎ個からｒ個を選ぶ順列は
　nＰr＝n(n-1)(n-2)・・・(n-r+1)＝n!/(n-r)!
ここで n! は ｎ の階乗といって、「１からｎまでの整数をすべて掛けた数」です。
　2!＝1×2＝2　3!＝1×2×3＝6　5!＝1×2×3×4×5＝120
また、ｎ個からｒ個を選ぶ組み合わせは
　nＣr＝nＰr/r!＝n!/(n-r)!r!
と書けます。

さて、いよいよ交点の数ですが、交点は平行でない２直線につき１個存在しますから、
上の、組み合わせの考えでいうと、「６本から２本選ぶ組み合わせ」になり、
　６×５÷２＝１５
１５個あるはずです。
ところが、この問題の場合、３本の直線が１点で交わるところがあります。

そうすると、図のように３個の点が１個になり、２個減ることになります。
こういう点が A,B,C,D の４カ所ありますから、８個減って、
　１５−８＝７
７個となります。
答え　７個

算数・数学の部屋に戻る