問題
鋭角三角形ＡＢＣのＡＢ＝ｃ、ＢＣ＝ａ、ＣＡ＝ｂとするとき、鋭角三角形ＡＢＣの内心Ｉから、
鋭角三角形の外接円Ｏへの方べきをＰとすると、Ｐ＝ａｂｃ/(ａ＋ｂ＋ｃ) となることを証明せよ。
解答
Ｒは外接円半径、ｒは内接円半径とする。
ＡＩの延長と円Ｏとの交点をＭとすると、
∠ＢＡＭ＝∠ＣＡＭ （∵ＡＭは∠ＢＡＣの２等分線）
より、
ＢＭ＝ＣＭ
また、
∠ＩＢＭ＝∠ＩＢＣ＋∠ＣＢＭ
＝∠ＩＢＣ＋∠ＣＡＭ
＝(∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＣ)/２
一方、∠ＢＩＭは∠ＢＩＡの外角なので、△ＡＢＩにおいて、
∠ＢＩＭ＝∠ＢＡＩ＋∠ＡＢＩ＝(∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＣ)/２
よって、∠ＩＢＭ＝∠ＢＩＭ となり、
ＢＭ＝ＩＭ
よって、
ＢＭ＝ＣＭ＝ＩＭ
ＩからＡＢにおろした垂線の足をＨとすると、
ＩＨ＝ｒ
また、ＭＮが直径となるように点Ｎをとる。
∠ＢＮＭ＝∠ＩＡＨ
∠ＮＢＭ＝∠ＡＨＩ＝90°
より、△ＮＢＭと△ＡＨＩ は相似。
ＮＭ：ＢＭ＝ＡＩ：ＩＨ
より、
ＢＭ・ＡＩ＝ＮＭ・ＩＨ
ＩＭ・ＡＩ＝２Ｒ・ｒ
方べきの定理より、Ｐ＝ＩＭ・ＡＩ であるので、
Ｐ＝２Ｒｒ ………(1)
次に、△ＡＢＣの面積を２通りの方法で求める。
１つめは、内接円半径を用いて、
△ＡＢＣ＝(ａ＋ｂ＋ｃ)ｒ/２ ………(2)
とする方法である。
もう１つの方法は、上図において、ＢからＡＣにおろした垂線の足をＨとすると、
△ＡＢＣ＝ＡＣ×ＢＨ÷２
一方、ＢＤが直径となるように点Ｄを取ると、△ＢＨＡと△ＢＣＤは相似なので、
ＢＨ＝ＢＣ×ＡＢ÷ＢＤ
よって、
△ＡＢＣ＝ＡＢ・ＢＣ・ＣＡ/４Ｒ＝ａｂｃ/４Ｒ （Ｒは外接円半径） ………(3)
(2)(3)より、
(ａ＋ｂ＋ｃ)ｒ/２＝ａｂｃ/４Ｒ
よって、
２Ｒｒ＝ａｂｃ/(ａ＋ｂ＋ｃ) ………(4)
(1)(4) より、
Ｐ＝ａｂｃ/(ａ＋ｂ＋ｃ)
となる。
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