みゅゥさんからの質問４

みゅゥさんからの質問４

問題
　∠ＢＡＣ＝９０°の直角３角形ＡＢＣの内接円Ｉを描く。ＡＢ＝ｃ、ＢＣ＝ａ、ＣＡ＝ｂ、内接円Ｉの半径＝ｒとするとき、
　i) 円Ｉと２辺ＡＢ、ＣＡとの接点をそれぞれＴ，Ｓとするとき、ＡＴ＝ＡＳ＝ｒとして、ｒをａ、ｂ、ｃで表しなさい。
　ii) 三角形ＡＢＣの面積を２通りに表すことにより、ｒをａ、ｂ、ｃを用いて表せ。
　iii) i)、ii) で導いた等式を利用して、ａ²＝ｂ²＋ｃ²（三平方の定理）を証明せよ。

解答
　みゅゥさんからの質問４
　円Ｉと、辺ＢＣとの接点をＲとします。また、円Ｉの中心をＯとします。
　i) △ＢＴＯ≡△ＢＲＯ、△ＣＳＯ≡△ＣＲＯより、
　　　ＢＴ＝ＢＲ、ＣＳ＝ＣＲ
　　一方、ＢＣ＝ＢＲ＋ＲＣ、ＢＴ＝ＡＢ－ＡＴ、ＣＳ＝ＣＡ－ＡＳより、
　　　ＢＣ＝ＢＲ＋ＲＣ＝ＢＴ＋ＣＳ
　　　　　＝(ＡＢ－ＡＴ)＋(ＣＡ－ＡＳ)
　　よって、
　　　ａ＝ｃ＋ｂ－２ｒ
　　　ｒ＝(ｂ＋ｃ－ａ)/２
　ii) △ＡＢＣ＝ＡＢ×ＣＡ÷２＝ｂｃ/２………(1)
　　一方、
　　　△ＡＢＣ＝△ＡＢＯ＋△ＢＣＯ＋△ＣＡＯ＝ＡＢ×ｒ÷２＋ＢＣ×ｒ÷２＋ＣＡ×ｒ÷２
　　　　　　　＝(ａ＋ｂ＋ｃ)ｒ/２………(2)
　　(1),(2) より、
　　　ｂｃ＝(ａ＋ｂ＋ｃ)ｒ
　　　ｒ＝ｂｃ/(ａ＋ｂ＋ｃ)
　iii) i)、ii) の結果より、
　　　（ｂ＋ｃ－ａ）/２＝ｂｃ/(ａ＋ｂ＋ｃ)
　　変形して、
　　　（ｂ＋ｃ－ａ）(ａ＋ｂ＋ｃ)＝２ｂｃ
　　　(ｂ＋ｃ)²－ａ²＝２ｂｃ
　　　ｂ²＋２ｂｃ＋ｃ²－ａ²＝２ｂｃ
　　よって、
　　　ａ²＝ｂ²＋ｃ²
　　証明終わり

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