みみさんからの質問１

問題
定数aを正の実数とする。
座標平面の第1象限または第4象限に中心をもち、円:x²-2ax+y²=0 に外接し、
y軸にも接する円の中心Pの軌跡をCとする。
点T(-a,b)から曲線Cに引いた2つの接線をl、l'とし、Cとの接点をそれぞれA、Bとする。
このとき,次の問いに答えよ。
(1) 曲線Cの方程式を求めよ。
(2) 2つの接線l、l'は互いに直交することを示せ。
(3) 線分ABの長さをa、bを用いて表せ。

解答
(1)
点Ｐの座標を (x,y) とすると、ｙ軸から点Ｐまでの距離は ｘ です。
一方、円 x²-2ax+y²=0 の中心を点Ｑとすると、点Ｑの座標は(a,0)、円の半径はａです。
よって、ＰＱの長さは、ａ＋ｘ であるべきです。
以上より、
　ＰＱ²＝(x-a)²＋y²＝(ａ＋ｘ)²
展開して整理すると
　ｙ²＝４ａｘ
という放物線になります。ただし、ｙ≠０。

※直線ｘ＝−ａ を考えると、この直線から点Ｐまでの距離はｘ−ａ となり、ＰＱと等しくなります。
放物線の性質より、点Ｐは、準線ｘ＝−ａ、焦点Ｑ (a,0)の放物線 　ｙ²＝４ａｘ　になります。

(2)
ｘ軸に平行な直線は、曲線Ｃの接線となり得ないので、
点(-a, b) を通る直線を　ｘ＝ｍ（ｙ−ｂ)−ａ とおくことが出来ます。
これが、ｙ²＝４ａｘ に接することより、両者連立させて、ｘを消去して、
　ｙ²＝４ａ{ｍ（ｙ−ｂ)−ａ}＝４ａｍｙ−４ａｂｍ−４ａ²
これより、ｙについての２次方程式
　ｙ²−４ａｍｙ＋４ａｂｍ＋４ａ²＝０　　　　・・・(i)
が出来ます。判別式を取って、
　(2am)²−(４ａｂｍ＋４ａ²)＝４ａ²ｍ²−４ａｂｍ−４ａ²＝０
ａ＞０ より、両辺４ａで割って、
　ａｍ²−ｂｍ−ａ＝０
これを解いて、
　ｍ＝｛ｂ±√(ｂ²＋４ａ²)}/２ａ
よって、(-a,b) から、曲線Ｃに引いた２本の接線の傾きは、
　｛ｂ＋√(ｂ²＋４ａ²)}/２ａ と ｛ｂ−√(ｂ²＋４ａ²)}/２ａ
になります。両者掛け合わせて、
　｛ｂ＋√(ｂ²＋４ａ²)}/２ａ × ｛ｂ−√(ｂ²＋４ａ²)}/２ａ ＝ −４ａ²/４ａ² ＝−１
となり、２本の接線は、直交します。

(3)
　ｙ²−４ａｍｙ＋４ａｂｍ＋４ａ²＝０　　　　・・・(i)
の解は、ｍ＝｛ｂ±√(ｂ²＋４ａ²)}/２ａ において、重根を持ち、それは、
　ｙ＝２ａｍ＝ｂ±√(ｂ²＋４ａ²)
です。つまり、２点Ａ、Ｂ の一方の座標が（｛２ｂ²＋４ａ²＋２ｂ√(ｂ²＋４ａ²)｝/４ａ，ｂ＋√(ｂ²＋４ａ²)）
他方が（｛２ｂ²＋４ａ²−２ｂ√(ｂ²＋４ａ²)｝/４ａ，ｂ−√(ｂ²＋４ａ²)） これより、
　ＡＢ²＝｛４ｂ√(ｂ²＋４ａ²)/４ａ｝²＋｛２√(ｂ²＋４ａ²)｝²
　　＝(ｂ²＋４ａ²)(ｂ²/ａ²＋４)
　　＝(ｂ²＋４ａ²)²/ａ²
以上より、
　ＡＢ＝(ｂ²＋４ａ²)/ａ

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