実果子さんからの問題

問１）次の命題を、背理法によって証明せよ。
　　　　Ａ²＞BCかつAC＞B²ならば、A≠Bとなる。

問２）不等式Ａ²+Ｂ²+Ｃ²≧ＡＢ+ＢＣ+ＣＡを、証明せよ。

問３）(1)１，２，３，４，５，６の６個の数字から、異なる４個を選び出して並べて４桁の整数をつくる。２の倍数は何個あるか。
　　　(2)男子１０人、女子５人の中から合計３人の代表者を選ぶ方法は何通りあるか。また、代表者３人のうちに女子が少なくとも１人含まれるような選び方は何通りあるか。

答１）
　Ａ²＞BCかつAC＞B²　のとき　A=B であると仮定する。
　A=B=0 の時、明らかに、A²＞BCかつAC＞B²　は成り立たない。
　A=B>0 の時、A²＞BC より　A＞C、AC＞B² より C＞B=A 。以上より、A²＞BCかつAC＞B²　は成り立たない。
　A=B<0 の時、A²＞BC より　A＜C、AC＞B² より C＜B=A 。以上より、A²＞BCかつAC＞B²　は成り立たない。
以上より、最初の仮定 A=B が誤りであることがわかり、
　Ａ²＞BCかつAC＞B²ならば、A≠B である。

答２）
　２｛（左辺）−（右辺）｝＝２Ａ²+２Ｂ²+２Ｃ²−２ＡＢ−２ＢＣ−２ＣＡ
　　　　　　　　　　　　　＝（Ａ²−２ＡＢ＋Ｂ²）＋（Ｂ²−２ＢＣ＋Ｃ²）＋（Ｃ²−２ＣＡ＋Ａ²）
　　　　　　　　　　　　　＝（Ａ−Ｂ）²＋（Ｂ−Ｃ）²＋（Ｃ−Ａ）²≧０
　以上より、（左辺）≧（右辺）　となり、与式は証明された。なお、等式は、Ａ＝Ｂ＝Ｃの時に成立する。

答３）
　(1) （解法１）
　　一の位の選び方は２，４，６の３通り、十の位の選び方は、一の位で選んだ数以外の５通り、
　　百の位の数の選び方は４通り、千の位の数の選び方は３通りなので、
　　　３×５×４×３＝１８０　　　答１８０個

　(1) （解法２）
　　４桁の数の作り方は　６×５×４×３＝３６０（通り）
　　これらのうち、奇数は一の位が１，３，５の時で、偶数は一の位が２，４，６の時で、それぞれ同数ある。
　　よって、求める個数は、　３６０÷２＝１８０　　　　答１８０個

　(2)
　　男女関係なく３人を選ぶ選び方は、₁₅Ｃ₃＝15×14×13/(３×２×１)＝４５５（通り）・・・答１
　　（解法１）
　　男子だけで３人を選ぶ選び方は、₁₀Ｃ₃＝10×９×８/(３×２×１)＝１２０（通り）
　　よって、少なくとも１人の女子を含む選び方は
　　　４５５−１２０＝３３５（通り）・・・答２
　　（解法２）
　　・女子３人の選び方　　　　：₅Ｃ₃＝５×４×３/(３×２×１)＝１０（通り）
　　・女子２人男子１人の選び方：5Ｃ2×10Ｃ1＝１０×１０＝１００（通り）
　　・女子１人男子２人の選び方：5Ｃ1×10Ｃ2＝５×４５＝２２５（通り）
　　１０＋１００＋２２５＝３３５（通り）・・・答２

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