問題
平面上に三角形OABがあり、点Pは８s＋15t＝６を満たす
変数ｓ、ｔを用いて
OP＝ｓOA＋ｔOB
で表される。
(１)点Pはある定直線上を動く。この直線と直線OA,OB
との交点をそれぞれC,Dとするとき
OC＝(ア／イ)OA， OD＝(ウ／エ)OB
である。
(２)△PAB＝(1／3)△OABのとき
OP＝(オ／カ)OA＋(キ／クケ)OB
である。
解答
(1)
８s＋15t＝６
は、
(4/3)s＋(5/2)ｔ＋１
と書けます。ここで、
ｕ＝4s/3，ｖ＝5t/2
とおくと、
OP＝ｓOA＋ｔOB＝(3u/4)ＯＡ＋(2v/5)ＯＢ＝u(3/4)ＯＡ＋ｖ(2/5)ＯＢ
よって、
ＯＣ＝(3/4)ＯＡ
ＯＤ＝(2/5)ＯＢ
とおくと、
ＯＰ＝ｕＯＣ＋ｖＯＤ ｕ＋ｖ＝１
と書けるので、点Ｐは、直線ＣＤ上にあります。
答え ア＝３，イ＝４，ウ＝２，エ＝５
(2)
点Ｐは、上図のように、ＯＡ、ＯＢの３等分点で、それぞれ点Ａ、点Ｂに近い方の点を結んだ直線上にあります。
ＯＥ＝(2/3)ＯＡ
ＯＦ＝(2/3)ＯＢ
とおくと、
ＯＰ＝ｓOA＋ｔOB＝(3/2)ｓＯＥ＋(3/2)ｔＯＦ 3s/2＋3t/2＝１
とおけます。これと、８s＋15t＝６ を連立させて、ｓ、ｔ を求めると、
ｓ＝4/7、ｔ＝2/21
答え オ＝４，カ＝７，キ＝２，クケ＝２１
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