問題
2点A(1,0),B(0,2)があり、f(x)=x2−2ax＋b(a,bは定数)とする。y=f(x)が、線分ABと共有点を持つとき、次の各問いに答えよ。
(1) a,bのみたすべき条件をab平面上に図示せよ。
(2) a2＋bの最小値を求めよ。
解答
(1)
この問題は、ＡＢを通る直線
ｙ＝−２ｘ＋２
とｙ＝ｆ（ｘ） を連立させた、
ｘ2−２（ａ−１）ｘ＋（ｂ−２）＝０
が、０≦ｘ≦１で少なくとも１つの実解を持つためのａ，ｂの条件を求める問題と考えられます。
g(x)＝ｘ2−２（ａ−１）ｘ＋（ｂ−２）
とおきます。y=g(x) のグラフは下図の３通りが考えられます。
１つは、２解とも ０≦ｘ≦１ にある場合、他の２つは解の一方だけ ０≦ｘ≦１ にある場合です。
２解とも ０≦ｘ≦１ にある条件は
・Ｄ≧０
・ｘ＝０のとき g(x) の値が０以上。つまり g(0)≧０
・同様に g(1)≧０
・軸が ０≦ｘ≦１ にある
以上より不等式を書くと、
Ｄ/４＝（ａ−１）2−ｂ＋２≧０ より ｂ≦（ａ−１）2＋２・・・(1)
g(0)＝ｂ−２≧０ より ｂ≧２・・・(2)
g(1)＝ｂ−２ａ＋１≧０ より ｂ≧２ａ−１・・・(3)
軸：ｘ＝ａ−１ より ０≦ａ−１≦１ よって １≦ａ≦２・・・(4)
これらの共通部分をグラフに描くと以下のようになります。
解の一方だけが ０≦ｘ≦１ にある条件は、g(0) と g(1) が異符号であること
（いずれか、または両方が０である場合も含む）よって、
g(0)≦０ かつ g(1)≧０
または
g(0)≧０ かつ g(1)≦０
これをグラフに描くと以下のようになります。
以上２つのグラフを合わせると、以下のようになります。
(2) a2＋b＝ｋ とおきます。
ｂ＝−ａ2＋ｋ のグラフは、上に凸のグラフで、ｋに伴って、ｂ軸に平行に動きます。
このグラフが上のグラフの斜線部と共有点を持ちながら、出来るだけ下に移動した
限界がｋの最小値となります。それは、結局 ｂ＝２ａ−１ と接するときです。
ｂ＝−ａ2＋ｋ と ｂ＝２ａ−１ を連立させて、
−ａ2＋ｋ＝２ａ−１
ａ2＋２ａ−（１＋ｋ）＝０
Ｄ/４＝１2＋（１＋ｋ）＝２＋ｋ＝０
よって、ｋ＝−２ が a2＋b の最小値となります。
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