問題
方程式|(x−a)(x−1)|=x＋bが3つの実数解を持つとき、a,bの条件を求め、それを図示せよ。
解答
ｙ＝|(ｘ−ａ)(ｘ−１)| のグラフと、ｙ＝ｘ＋ｂ のグラフの交点のｘ座標が、この方程式の解となります。
そこで、この２つのグラフを描いてみます。
ａ＞１の時は、ａと１の位置が逆になります。
交点が３つになるのは、ｙ＝ｘ＋ｂ が図のような位置になるときです。
１）ａ＜１の時
ｙ＝ｘ＋ｂ が（ａ，０）を通るとき、つまりａ＋ｂ＝０ のとき。
ｙ＝ｘ＋ｂが ｙ＝−(ｘ−ａ)(ｘ−１) に ａ＜ｘ＜１ の範囲で接する。
−(ｘ−ａ)(ｘ−１)＝ｘ＋ｂ
ｘ2−ａｘ＋ａ＋ｂ＝０ ・・・(1)
判別式をとって、
ａ2−４(ａ＋ｂ)＝０
ｂ＝(ａ2−４ａ)/４
このとき、(1) の解は、
ｘ＝ａ/２
これが、ａ＜ｘ＜１ にあるためには、
ａ＜ａ/２＜１
より、ａ＜０
以上より、ａ＋ｂ＝０ または ｂ＝(ａ2−４ａ)/４ かつ ａ＜０
２）ａ＞１の時
ｙ＝ｘ＋ｂ が（１，０）を通るとき、つまり ｂ＝−１ のとき。
ｙ＝ｘ＋ｂが ｙ＝−(ｘ−ａ)(ｘ−１) に １＜ｘ＜ａ の範囲で接する。
１）と同様に、
ｂ＝(ａ2−４ａ)/４
このとき、(1) の解は、
ｘ＝ａ/２
これが、１＜ｘ＜ａ にあるためには、
１＜ａ/２＜ａ
より、２＜ａ
以上より、ｂ＝−１ または ｂ＝(ａ2−４ａ)/４ かつ ２＜ａ
以上を図に描くと以下のようになります。
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