めかさんからの質問３

問題
　三角形の二角が等しくないとき、大きい角に対する辺は小さい角に対する辺よりも大きい事を証明してください。

解答

比較する角が、どちらも鋭角の場合と、一方が鈍角の場合がありますが、
どちらの場合も、以下のようにして証明できます。ただし、三角不等式は
自明のものとしています。

上図において、∠ＡＢＣ＞∠ＡＣＢ　ならば　ＡＣ＞ＡＢ　であることを示します。
∠ＡＢＣ＞∠ＡＣＢ であるので、∠ＤＢＣ＝∠ＡＣＢ となる点Ｄを辺ＡＣ上に取ることができる。
このとき、△ＡＢＤにおいて、三角不等式より
　ＡＢ＜ＡＤ＋ＤＢ
ここで、△ＢＣＤは二等辺三角形であり、ＤＢ＝ＤＣであるので、
　ＡＢ＜ＡＤ＋ＤＢ＝ＡＤ＋ＤＣ＝ＡＣ
となり、問題の命題は証明された。

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